LA2[1]#2

[CansaSCity]

Hallo,

ich hoffe mal dass ich hier nicht all zu sehr für Unordnung sorge, aber wies aussieht bin ich der erste der in LA unterstützung benötigt.

Und das vor allem bei der 2a, den Rest habe ich mir noch nicht angesehen, aber ich weigere mich momentan so schnell schon aufzugeben... so hat nämlich letztes Semester aufgehört....

Zur 2 a):

Diagonalisierbarkeit heißt doch, Charakteristisches Polynom aufstellen, Null-Stellen ermitteln und Geometrische und algebraische Vielfachheit vergleichen...
richtig, oder zu umständlich???

Ok, also das habe ich dann gemacht. Erst die Determinante von A berechnen:

So dabei habe ich dann zur vereinfachung noch die 2. Zeile zur 1 Zeile adiert.
(Habe auch schon probiert die 2 mit durchzumulitplizieren, natürlich habe ich nicht vergessen, das alpha dann vorzuziehen
aber gebracht hat es mir subjektiv auch nichts)

Da es eine 3x3-Matrix ist, kann man da schon die Determinante ausrechnen...
Also riesen Gedöhns... und ich kann da nichts rauslesen, habe es versucht zu faktorisieren, hat aber nicht geklappt.
Ich habe Maple gefragt... hat nicht geklappt. Also denke ich dass man da wohl was rauslesen muss, aber das einzige was ich rauslesen kann
ist, dass alpha = 2/3 sein muss, damit "ich" fähig bin es zu faktorisieren, aber das ist in meinen Augen Unfug und genau da stecke ich fest.

Maple zaubert da wunderschöne dinge mit verschachtelten Wurzeln wenn ich nach den Eigenwerten frage.

2 b)
Ich bin mir da nicht sicher deswegen wäre eine validierung super. Habt ihr da auch als Basis:

PRIME_BBCODE_SPOILER_SHOW PRIME_BBCODE_SPOILER: auf Anzeigen klicken

wobei der letzte Basisvektor von mir frei gewählt ist, und die anderen beiden die Eigenvektoren sind.
Als Eigenwerte habe ich 2 und 0 raus.

Mein erster Post dieses Semester und ich war selten so verzweifelt und motiviert zugleich... hoffe das ist jetzt nicht gleich wieder dahin, weil ich es doch nicht hinbekomme.

Also schönen Freitag Abend noch an alle hier.

EDIT Administrator: Notation bei Übungsblättern beachten!
Beispiel: FACH[x]#y

EDIT OWNER: Kommt nicht wieder vor, versprochen

[mocha]

hi

die 2a habe ich aufgegeben :-/ ich hoffe hier hat noch jemand ne idee ^^

bei der b) habe ich eine andere basis

PRIME_BBCODE_SPOILER_SHOW PRIME_BBCODE_SPOILER: auf Anzeigen klicken

hab ich auch,

ist kein eigenvektor, er wird auf abgebildet, wir brauchen aber ne basis aus eigenvektoren

man muss erst das charakteristische polynom von und die nullstellen des polynoms berechnen das sind die eigenwerte, dann für jeden eigenwert die lösungen von ausrechnen, da sollten dann insgesamt 3 l.u. vektoren rauskommen

[Patric]

zur 2 a)

Also ich hab das Charaktieristische Polynom berechnet dann hat man so ne tolle formel mit alpha und X..., siehe spoiler falls es wenn interessiert wies aussieht, passt auch ganz gut mit der b überein.

und zur b) deine Eigenwerte Stimmen ,aber beim Eigenwert 2 musst du aus , 2 Vektoren machen da es geometrische bzw algebraische Vielfachheit von 2 hat. Und dann hast du auch 3 Eigenvektoren die zusammen ne Basis sind.

PRIME_BBCODE_SPOILER_SHOW PRIME_BBCODE_SPOILER: auf Anzeigen klicken

den hinteren Spaß kann man jetzt über pq Formel oder Mitternachtsformel, ist ja alles der selebe Schmarn, schauen für welche alpha im Reelen überhaupt noch in Linearfaktoen zerlegen lässt. wo ich dann drauf gekommen bin das alpha <= 1 sein muss, und im Fall alpha = 1 stimmt die algebraische mit der geomterischen Vielfachheit nicht überein.
Ich frage mich nur ob das nicht noch bei irgendeinem anderen Wert passieren kann.

[Johann]

Hallo,

Zur 2 a):

Diagonalisierbarkeit heißt doch, Charakteristisches Polynom aufstellen, Null-Stellen ermitteln und Geometrische und algebraische Vielfachheit vergleichen...
richtig, oder zu umständlich???

Sofern ich mich zu meinen Physikzeiten richtig erinnere, ist es hinreichend, wenn das chark. Polynom 0 hat. Ist die Matrix nicht diagonalisierbar hat auch das char. Poly. keine Nullstellen.

[Patric]

Hallo,

Zur 2 a):

Diagonalisierbarkeit heißt doch, Charakteristisches Polynom aufstellen, Null-Stellen ermitteln und Geometrische und algebraische Vielfachheit vergleichen...
richtig, oder zu umständlich???

Sofern ich mich zu meinen Physikzeiten richtig erinnere, ist es hinreichend, wenn das chark. Polynom 0 hat. Ist die Matrix nicht diagonalisierbar hat auch das char. Poly. keine Nullstellen.

Das char. Poly. kann schon Nullstellen haben obwohl die Matrix nicht diagonalisierbar ist:

zb hat das char. Poly.: , also hat es Nullstellen nämlich die 1, da aber der dazugehörige Eigenraum nur dim 1 hat ist die Matrix an sich nicht diagonalisierbar (Beispiel ist ausm Skript)

[CansaSCity]

zur 2 a)

und zur b) deine Eigenwerte Stimmen ,aber beim Eigenwert 2 musst du aus , 2 Vektoren machen da es geometrische bzw algebraische Vielfachheit von 2 hat. Und dann hast du auch 3 Eigenvektoren die zusammen ne Basis sind.

Wie willst du aus 2 Vektoren machen, die selber linear unabhängig sind? Also wenn ich mich richtig erinnere haben wir, z.B wenn wir aus dem Kern eine Basis gebastelt haben und die Dimension nicht ausgereicht hat, diesen auf den entsprechenden Rang erweitert...

und genau das wollte ich mit erreichen, also mit einem von den anderen beiden Vektoren, linear unabhängigen Vektor erweitern, weil wie du richtig gemeint hast, der Eigenwert 2 nur eine Geometrische Vielfachheit von 1 hat.

[Patric]

ähm ich sag jetzt einfachmal und , kannst die ja auch einmal an die Matrix A0 dran multiplizieren.

[CansaSCity]

achso hast du das gemeint... (glaube ich :-/ ) ja z.B.
... d.h du stimmst mit meiner Lösung für die b) überein???

[Patric]

nein tue ich nicht da deine Basis nicht nur aus Eigenvektoren besteht.

ist schon ein EIgenvektor, aber du darfst ihn nicht als Basis verwenden, du musst die Vektoren der Basis des Eigenraums nehmen der von dem Eigenwert 2 Aufgespannt wird (welcher 2 Dimensional ist). Plus dann den Spaß für den Eigenwert 0, da hast du es aber richtig gemacht, da hat der dazugehörige Eigenraum auch nur die Dimension 1.

[CansaSCity]

Ok zur a):

PRIME_BBCODE_SPOILER_SHOW PRIME_BBCODE_SPOILER: auf Anzeigen klicken

ich habe wie Patric das Charakteristische Polynom gebildet.
Danach habe ich das Polynom mit 0 gleichgesetzt.

Wie Patric gesagt hat muss alpha <= 1 sein, da sonst die Wurzel zu etwas undefiniertem in R wird.
Für alpha = 1, fallen die beiden Werte zusammen von
Und für alpha = 0, fallen die Werte von , zusammen

Für alle anderen Werte gibt es keine Überschneidungen, sprich die algerbaische und die geometrische Vielfachheit sind gleich.
=> Die Matrix ist Diagonalisierbar für alle
Denke dass passt so.