Auf jeden Fall möchte ich mal den Umgang mit Matrizen in LaTeX üben, deswegen hier meine Lösung:
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Behauptung:
 . det(C)\end{center})
wo
die 
-Nullmatrix bezeichnet.
Beweis: (durch vollständige Induktion über p)
Induktionsanfang:)
Sei
beliebig. Seien 
beliebig. Setze 
, 
die 
Nullmatrix, und 
Es gilt:
 = \begin{vmatrix} a_{11} & b_{11} & \hdots & b_{1q} \\ 0 & c_{11} & \hdots & c_{1q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & c_{1q} & \hdots & c_{qq}\end{vmatrix} = a_{11} |C| = det(A)\, . \, det(C) \quad \checkmark)
Induktionsschritt:)
Induktionsvoraussetzung:
Sei
und es gelte
 . det(C)\end{center})
Zu zeigen:
 \times (p+1)}:\forall B \in \mathbb{K}^{(p+1) \times q}: \forall C \in \mathbb{K}^{q \times q}: \\ \begin{center}det\begin{pmatrix}A & B \\ O & C\end{pmatrix} = det(A) . det(C)\end{center})
Induktionsschluss:
Sei beliebig. Seien  \times (p+1)}, B \in \mathbb{K}^{(p+1) \times q}, C \in \mathbb{K}^{q \times q})
beliebig. Setze , die )
Nullmatrix, und  := M := \begin{pmatrix} A & B \\ O & C\end{pmatrix} \in \mathbb{K}^{n \times n}.)
bezeichne diejenige Matrix, die sich aus X ergibt, indem man die i-te Zeile und j-te Spalte weglässt. Es gilt: (Es wird anfangs die Determinante von M nach der (p+1)-ten Spalte entwickelt, weiter unten am Ende ergibt sich die Entwicklung der Determinante von A nach der (p+1)-ten Spalte)
 = \begin{vmatrix}a_{11} & \hdots & a_{1, p+1} & b_{11} & \hdots & b_{1q} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{p+1,1} & \hdots & a_{p+1, p+1} & b_{p+1,1} & \hdots & b_{p+1, q} \\ 0 & \hdots & 0 & c_{11} & \hdots & c_{1q} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \hdots & 0 & c_{q1} & \hdots & c_{qq} \end{vmatrix} = \\ = \sum_{k=1}^{n}{m_{k, p+1} |[M]_{k,p+1}|} = \quad \quad \quad \quad \left[ m_{k,p+1} = \begin{cases} a_{k, p+1} & k \le p+1 \\ 0 & k > p+1 \end{cases} \right] \\ = \sum_{k=1}^{p+1}{a_{k, p+1} |[M]_{k,p+1}|} = \quad \quad \quad \quad \left[ \mbox{Nach IV, denn alle} \; [M]_{k,p+1\; } \mbox{sind von der notwendigen Gestalt}\right]\\ = \sum_{k=1}^{p+1}{\left( a_{k, p+1} |[A]_{k,p+1}| \, . \, |C| \right)} = \\ = |C|\sum_{k=1}^{p+1}{a_{k, p+1} |[A]_{k,p+1}| \,} = \\ = |C| \, . \, |A| = \\ = det(A) \, . \, det(C) \quad \blacksquare)
wo
Beweis: (durch vollständige Induktion über p)
Induktionsanfang
Sei
Es gilt:
Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung:
Sei
Zu zeigen:
Induktionsschluss:
Sei
