Aufgabe 3

[kimbo]

kann mir irgend jemand sagen, wie ich diese aufgabe löse?
ich hätte ja gesagt, ich bestimm die lösung und beweis diese dann durch induktion.
leider komm ich aber nich auf die korrekte lösung

danke im vorraus!

[Christian S.]

Edit sagt falsche Aufgabe!
Ja, so gehst du vor:

PRIME_BBCODE_SPOILER_SHOW PRIME_BBCODE_SPOILER: auf Anzeigen klicken

Die Lösung dürfte n! sein nach meinen Vermutungen. Das nimmst du als I.V. und nimmst dann diese Summenformel für die Determinante. Da setzt du im I.S. nach ein paar Schritten die I.V. ein und bestimmst den vorderen Teil per Ablesen der Werte aus der Aufgabenstellung. Nach Umformen kommst du dann auf n!*n + n! = (n + 1) * n! = (n + 1)! womit du gezeigt hättest, dass die ganze Sache stimmt, da es für n + 1 auch stimmt.

[Davud]

hey christian bist du sicher? also ich hab für n=1,2,3 jeweils eine det von 1,5,14 raus. das würde zu n! nicht passen. aber zu n^2 + An-1.
ich krieg nur nicht den induktionsschritt so richtig hin.

1 4
-1 1 9
-1 1 16
....
-1 1 n^2
-1 1
die matrix sieht ungefähr so aus oder? (mit nullen da wo ichs freigelassen hab)

[Romeo]

Hi,

Du musst bei a_11 anfangen.

Subtrahiere von der 2. Zeile die erste. Dadurch erhältst du:

a_21 = 1-1 = 0
a_22 = 1-(-1) = 2

Nun steht in den ersten drei Zeilen:

Code: Alles auswählen

1 -1  0 ...
0  2 -1 0 ...
0  4  1  -1 0...

Nun hast du das erste Teilstück einer oberen Dreiecksmatrix erzeugt.

Die Prozedur wiederholst du immer wieder, indem du auf die n. Zeile das (-n-1)-fache der n-1. Zeile addierst.

Damit hast du auch schon die perfekte Voraussetzung für eine Indukion!

Grüße
Roland

Edit: Zeilenindex korrigiert.

[Britta]

also ich hab für n=1,2,3 jeweils eine det von 1,5,14 raus. das würde zu n! nicht passen. aber zu n^2 + An-1.

Wenn ich das als n^2 + n! - 1 interpretiere, stimmt das aber auch nicht für alle n, sondern nur für n=1,2,3. Die Determinante von n=4 wäre 94, dein Ansatz ergäbe aber nur 27.
Leider finde ich aber auch keine schöne Formel für die Determinantenberechnung, mit der man die Induktion beginnen könnte...

[Romeo]

Hallo,

Also ich habe die Induktion nicht direkt über die Determinante durchgeführt, sondern habe behauptet, dass man jede nxn-Matrix durch Gaußumformungen auf folgende Form bringen kann:

PRIME_BBCODE_SPOILER_SHOW PRIME_BBCODE_SPOILER: auf Anzeigen klicken

Das Schöne dabei ist, dass Gauß die Determinante nicht verändert.

Das lässt sich schön machen, denn man kann dann im Induktionsschritt, wenn man also eine n+1 x n+1 Matrix aufstellt alles, bis auf die letzte Zeile und letzte Spalte als eine nxn Matrix auffassen. Dann kann man sagen, dass man diese nxn-Matrix laut IV auf die angegebene Form bringen kann und man erhält:



Jetzt müsste ja eigentlich der letzte Schritt klar sein.

Damit hat man die Dreiecksform und kann die Determinante als Diagonalenprodukt


berechnen.

Ich hoffe, jetzt ist die Idee klar geworden.

Grüße
Roland

[Britta]

edit: Die Indices waren Schuld

[Davud]

oh da hab ich wohl zeilen und spalten durcheinander gebracht.
britta wenn du für n = 4 eine determinante von 94 hast, hast dus vielleicht auch durcheinander.
danke roland, dein beitrag hat doch sehr geholfen.

[kimbo]

also so wie ich das sehe, hat britta die zeilen und spalten durcheinander gebracht...
jetzt bin ich vollends verwirrt oO

[Britta]

also so wie ich das sehe, hat britta die zeilen und spalten durcheinander gebracht...
jetzt bin ich vollends verwirrt oO

Ja, ist mir auch aufgefallen... wenn ich Zeilen und Spalten meiner Matrix vertausche, bekomme ich ne Determinante von 24 bei n=4, was mit eurer n!-Theorie vereinbar ist.
Warum heißen die Indices auch i und j und nicht z und s... das würde wenigstens niemand durcheinanderbringen!

*falschen Eintrag mal edit*