Auf jeden Fall möchte ich mal den Umgang mit Matrizen in LaTeX üben, deswegen hier meine Lösung:
PRIME_BBCODE_SPOILER_SHOW PRIME_BBCODE_SPOILER: auf Anzeigen klicken
Behauptung:
wo die -Nullmatrix bezeichnet.
Beweis: (durch vollständige Induktion über p)
Induktionsanfang
Sei beliebig. Seien beliebig. Setze , die Nullmatrix, und
Es gilt:
Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung:
Sei und es gelte
Zu zeigen:
Induktionsschluss:
Sei beliebig. Seien beliebig. Setze , die Nullmatrix, und
bezeichne diejenige Matrix, die sich aus X ergibt, indem man die i-te Zeile und j-te Spalte weglässt. Es gilt: (Es wird anfangs die Determinante von M nach der (p+1)-ten Spalte entwickelt, weiter unten am Ende ergibt sich die Entwicklung der Determinante von A nach der (p+1)-ten Spalte)
wo die -Nullmatrix bezeichnet.
Beweis: (durch vollständige Induktion über p)
Induktionsanfang
Sei beliebig. Seien beliebig. Setze , die Nullmatrix, und
Es gilt:
Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung:
Sei und es gelte
Zu zeigen:
Induktionsschluss:
Sei beliebig. Seien beliebig. Setze , die Nullmatrix, und
bezeichne diejenige Matrix, die sich aus X ergibt, indem man die i-te Zeile und j-te Spalte weglässt. Es gilt: (Es wird anfangs die Determinante von M nach der (p+1)-ten Spalte entwickelt, weiter unten am Ende ergibt sich die Entwicklung der Determinante von A nach der (p+1)-ten Spalte)