Info08.de - Forum des Erstsemester Jahrgangs 2008

Jack08 hat geschrieben:Hi,
könnt mir vllt jemand n tip zur 54c geben? steh grad iwie da auf dem schlauch... -.-

danke schonma

Hmm, um doch nicht auch hier alles zu verraten, erinnere ich dich an folgendes Beispiel aus der Übung. Die Aufgabe hier geht absolut analog:

$\int_{0}^{1}\left(\log{x}\right)^{2}\,dx \quad \left(\mbox{uneigentlich nur bei \[0\]}\right)$

Wir wollen eine integrierbare Majorante auf $(0, 1]$ finden. Dazu formen wir die zu integrierende Funktion künstlich folgendermaßen um:

$\left(\log{x}\right)^{2} = \frac{1}{\sqrt{x}}\sqrt{x}\left(\log{x}\right)^{2} = \frac{1}{\sqrt{x}}\left(x^{\frac{1}{4}}\log{x}\right)^{2}$

Für $x \to 0$ konvergiert $x^{\frac{1}{4}}\log{x}\right$ (warum ist mir auch nicht ganz klar, aber etwa $x^{\frac{1}{4}}$ sollte "viel schneller" gegen 0 gehen, als $\log{x}$ gegen $-\infty$ , und beide gleichen sich irgendwie aus und es liegt Konvergenz vor - allerdings nicht gegen 0 soviel ich es mir vorstellen kann <EDIT: Das ist wahrscheinlich FALSCH! Siehe Beweis in einem unteren Post, dass es doch gegen 0 konvergiert>). Somit ist $x^{\frac{1}{4}}\log{x}$ insbesondere auf $(0, 1]$ beschränkt, also existiert der Supremum davon. Wir setzen:

$M := \sup_{x \in (0, 1]}{\left(x^{\frac{1}{4}}\log{x}\right)^2}$

Somit gilt:

$\left|\left(\log{x}\right)^{2}\right| = \frac{1}{\sqrt{x}}\left(x^{\frac{1}{4}}\log{x}\right)^{2} \le \frac{M}{\sqrt{x}}$

Das ist eine integrierbare Majorante auf $(0, 1]$ , also konvergiert das gegebene Integral. (Beachte, dass M einfach eine Konstante ist)

x * logx haben wir ja mal auf nem übungsblatt bewiesen, dass das gegen 0 konv. ich denk ma dass macht dann kein untschied ob da ne wurzel dabei is

hallo
zur 54b) bringts etwas,wenn ich statt coshx die Summenformel davon schreibe? aber auch mit dem Ansatz komme ich irgendwie nicht mehr weiter! Kann mir jemand etwas helfen?!

deuirka hat geschrieben:hallo
zur 54b) bringts etwas,wenn ich statt coshx die Summenformel davon schreibe? aber auch mit dem Ansatz komme ich irgendwie nicht mehr weiter! Kann mir jemand etwas helfen?!

PRIME_BBCODE_SPOILER_SHOW PRIME_BBCODE_SPOILER: auf Anzeigen klicken

$\sqrt[4]{\cosh{x} - 1} = \sqrt[4]{\left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}\right) - 1}= \sqrt[4]{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}} > \begin{cases} \sqrt[4]{\frac{x^2}{2!}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[4]{2}} & \mbox{einerseits} \\ \sqrt[4]{\frac{x^8}{8!}} = \frac{x^2}{\sqrt[4]{8!}} & \mbox{andererseits} \end{cases}$

">" folgt durch Weglassen von allen Summanden der Reihe (die sind ja alle positiv) bis auf einem. Im ersten Fall ist das der Summand mit $n=1$ , im zweiten - der mit $n=4$ .

Nun folgt für die Reziproken (die uns eigentlich bei der Aufgabe interessieren) die umgekehrte Abschätzung, und somit kriegt man eine im ersten Fall auf $(0, 1]$ , bzw im zweiten auf $[1, \infty)$ , integrierbare Majorante.

Vielen Dank SLS !

kann mir jemand einen Denkanstoß zur a geben? wieder Summenformel von Logarithmus (1-(-t)) und e^(-t) und dann Majorantenkrit. kann das richtig sein? danke im Voraus!

Bei mir geht es durch partielle Integration (am liebsten ein $\alpha$ anstelle von $\infty$ schreiben, und danach dieses $\alpha$ gegen $\infty$ laufen lassen):

PRIME_BBCODE_SPOILER_SHOW PRIME_BBCODE_SPOILER: auf Anzeigen klicken

$\int_{0}^{\alpha} e^{-t} \log{\left( 1+t \right)} \, dt = \left[-e^{-t} \log{\left( 1+t \right)} \right]_{0}^{a} - \int_{0}^{\alpha} -e^{-t} \frac{1}{1+t} \, dt = \\ = -e^{-\alpha} \log{\left( 1+\alpha \right)} + \int_{0}^{\alpha} \frac{1}{e^{t}(1+t)}\,dt$

Dabei:

$-e^{-\alpha} \log{\left( 1+\alpha \right)} = -\frac{\log{\left( 1+\alpha \right)}}{e^{\alpha}} \stackrel{\alpha \to \infty}{\to} 0$

und

$\left|\frac{1}{e^{t}(1+t)}\right| \le \frac{1}{e^t}$

Diese Majorante ist auf $[0, \infty)$ integrierbar - um das zu beweisen betrachtet man separat das uneigentliche Integral $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{e^t}$ - hiervon kennen wir eine Stammfunktion und man kann leicht zeigen, dass das Integral konvergiert.

Thomas hat geschrieben:x * logx haben wir ja mal auf nem übungsblatt bewiesen, dass das gegen 0 konv. ich denk ma dass macht dann kein untschied ob da ne wurzel dabei is

kann mir einer sagen wie der beweis nochmal geht? Hab ich mich nämlich vorher gefrgt beim lösen der aufgaben

ich hätte mal ne idee für die d)
und zwar hätte ich x mit 1/y <=> x->0 <=> y->unendlich substituiert und dann 1/y * log(1/y) = 1/y ( log (1) - log(y))= - log(y)/y kann ich da sagen, dass log(y)/y für y gegen unendlich gegen 0 konvergiert, da log(y)<y?^^ wahrscheinlich ja nicht oda... jemand ne bessere idee vllt?^^

PS: man könnte log(y)/y nochma substituieren und zwar mit z:= log y<=> y ->unendlich <=> z -> unendlich und dann hätte man $\frac{z}{e^{z}}$ und das geht ja laut vorlesung für $z->\infty$ gegen 0. was meint ihr dazu?

so sah mein post damals aus. die aufgabe is von übungsblatt nr. 8 aufgabe 30 d). hab das ganze also 2 ma substituiert, naja obs 100% richtig is ka, wurde mir auf dem ü-blatt aba nicht angestrichen, was bei meinem tutor nicht unbedingt viel aussagekraft hat

Ähm, es fällt mir gerade schwer deine Gedanken genau zu folgen, aber vom Eindruck her stimmt's. Hier mein Beweis dafür (eigentlich eine Variante deines, soviel ich verstehe):

$x \log{x} = \frac{\log{x}}{\frac{1}{x}} \stackrel{y:=-\log{x}}{=} \frac{-y}{\frac{1}{e^{-y}}} = -\frac{y}{e^y} = \stackrel{y=-\log{x}\to{\infty}}{\to} 0 \quad (x \to 0+)$

EDIT:
Gerade ist mir folgendes eingefallen für den allgemeineren Fall:

Sei $\alpha > 0$ beliebig. Es gilt:

$x^{\alpha} \log{x} = \frac{\log{x}}{\frac{1}{x^{\alpha}}} \stackrel{y:=-\log{x}}{=} \frac{-y}{\frac{1}{e^{-\alpha y}}} = -\frac{y}{e^{\alpha y}} = -\frac{1}{\alpha} \frac{\alpha y}{e^{\alpha y}} \\ \stackrel{\alpha y=-\alpha\log{x}\to{\infty}}{\to} 0 \quad (x \to 0+)$

Jetzt gehe ich endlich mal schlafen, denn noch ein bisschen Mathe und ich werde

Info08.de - Forum des Erstsemester Jahrgangs 2008

Aufgabe 54

Re: Aufgabe 54

Re: Aufgabe 54

Re: Aufgabe 54

Re: Aufgabe 54

Re: Aufgabe 54

Re: Aufgabe 54

Re: Aufgabe 54

Re: Aufgabe 54

Re: Aufgabe 54

Re: Aufgabe 54