Aufgabe 54

Beitrag von **Thomas** » Di 10. Feb 2009, 15:29

hat die schon jemand gelöst?

also bei mir konvergieren alle 4 integrale, hat das jemand auch so? bin mir nämlich nich besonders sicher

SLS · Beitrag von **SLS** » Di 10. Feb 2009, 21:11

Thomas hat geschrieben:also bei mir konvergieren alle 4 integrale, hat das jemand auch so? bin mir nämlich nich besonders sicher

Ich bestätige, dass die ersten 3 konvergieren (die sind zwar fast genau wie in der Übung). Das vierte Integral habe ich noch nicht fertig - das allgemeine "a" bereitet mir Schwierigkeiten...

Beitrag von **Thomas** » Di 10. Feb 2009, 22:46

da hab ich einfach e^t - 1 als summe entwickelt und dann erhält man ja ( t + t²/2 + t³/3! + ...)
also wäre meiner meinung nach t^a / ( t + t²/2 + t³/3! + ...) auf jeden fall kleiner als c / (t² + 1) wodurch die reihe konvergieren würde...
aba iwie is das halt auch nix genaues, bin aba trotzdem der meinung dass man das t^a auf jeden fall durch die reihe wegbekommt

SLS · Beitrag von **SLS** » Mi 11. Feb 2009, 02:13

Dass man die Reihenentwicklung verwendet ist sinvoll, du hast Recht.
Leider ist es aber viel komplizierter - man muss aufpassen, dass das Integral auch bei 0 uneigentlich ist und man muss auch dort eine Majorante finden. Hier mein Ansatz, allerdings nur für $a \ge 1$ (das brauche ich, damit ich entsprechende Potenzen von t ausklammern kann - die niedrigste Potenz die in der Reihe vorkommt ist ja t^1...

EDIT: Siehe Post unten für vollständige Lösung

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Falls die uneigentlichen Integrale rechts konvergieren, gilt:

$\int_{0}^{\infty}{t^a \over e^t-1}\,dt = \int_{0}^{1}{t^a \over e^t-1}\,dt + \int_{1}^{\infty}{t^a \over e^t-1}\,dt \\$

Sei $a \ge 1$ beliebig.

Bei $\infty$ (also für das rechte Integral):
${t^a \over e^t-1} = {t^a \over \sum_{n=1}^{\infty}{t^n \over n!}} = {t^a \over t + \frac{t^2}{2!} + \frac{t^3}{3!} + \hdots} \le {t^a \over t^{\lceil a \rceil}\left({1\over{\lceil a \rceil}!} + \frac{t}{(\lceil a \rceil+1)!} + \frac{t^2}{(\lceil a \rceil+2)!} + \hdots \right)} < \\ {(\lceil a \rceil+2)! \over t^{\lceil a \rceil - a + 2}} \le {(\lceil a \rceil+2)! \over t^{2}}$
Wir haben eine integrierbare Majorante auf $[1, \infty)$ gefunden.

Bei 0 (also für das linke Integral):
$\hdots = {t^a \over t^{\lfloor a \rfloor}\left({1\over{\lfloor a \rfloor}!} + \frac{t}{(\lfloor a \rfloor+1)!} + \frac{t^2}{(\lfloor a \rfloor+2)!} + \hdots \right)} \le {(\lfloor a \rfloor)! \, t^a \over t^{\lfloor a \rfloor}} = {(\lfloor a \rfloor)! \over t^{\lfloor a \rfloor - a}} < {(\lfloor a \rfloor)! \over t^{\lfloor a \rfloor - a + \frac{1}{2}}} \le {(\lfloor a \rfloor)! \over t^{\frac{1}{2}}}$
Wir haben eine integrierbare Majorante auf $(0, 1]$ gefunden.

SLS · Beitrag von **SLS** » Mi 11. Feb 2009, 04:19

Yay, endlich habe ich es (hoffentlich habe ich keinen dummen Fehler gemacht wegen der späten Uhrzeit):

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$\int_{0}^{\infty} \frac{t^a}{e^t-1}\,dt \left(a \in \mathbb{R}\right) \quad \mbox{ist uneigentlich sowohl bei \[\infty\], als auch bei \[0\].}$

Sei $a > 0$ beliebig, aber fest.

Einerseits gilt für $t \ge 1$ (die letzte Ungleichung gilt wegen $\lceil a \rceil - a \ge 0$ , also $t^{\lceil a \rceil - a + 2} \ge t^{0+2}$ ):

$\left| \frac{t^a}{e^t-1} \right| = \frac{1}{\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{t^{n-a}}{n!}}} \le \frac{1}{\frac{t^{\lceil a \rceil + 2 - a}}{\left( \lceil a \rceil + 2\right)!}} \le \frac{\left( \lceil a \rceil + 2\right)!}{t^2}$
Das ist eine integrierbare Majorante auf $[1, \infty)$

Andererseits gilt für $0 < t \le 1$ :

$\left| \frac{t^a}{e^t-1} \right| \le \frac{t^a}{t} = \frac{1}{t^{1-a}}.$ .
Wegen $1-a < 1$ konvergiert $\int_{0}^{1}\frac{1}{t^{1-a}}\,dt$ , und wir haben also eine integrierbare Majorante auf $(0, 1]$ .

Mit diesen beiden Majoranten konvergiert auch das gegebene uneigentliche Integral zumindest für $a > 0$

Sei nun $a=0$ . Es gilt:

$\int_{\alpha}^{1} \frac{t^a}{e^t-1}\,dt = \int_{\alpha}^{1} \frac{1}{e^t-1}\,dt = \left[ \log{\left(e^t-1\right)} - t \right]_{\alpha}^{1} = \\ = \log{\left(e-1\right)} - 1 + \alpha - \log{\left(e^{\alpha}-1\right)} \to \infty (\alpha \to 0+)$

Die Divergenz im letzten Schritt folgt wegen dem Verhalten vom $\log{\left(e^{\alpha}-1\right)}$ : Das Argument vom Logarithmus geht gegen 0, also der Logarithmus selbst geht gegen $-\infty$ .

Für $a < 0$ ist $\frac{1}{e^t-1}$ eine Minorante auf $(0, 1]$ , worüber das Integral auf $(0, 1]$ wie oben gezeigt divergiert. Somit divergiert auch das gegebene Integral.

Zusammenfassung:

$\int_{0}^{\infty}\frac{t^a}{e^t-1}\, dt \begin{cases}\mbox{konvergiert, } & \mbox{falls}\; a > 0 \\ \mbox{divergiert, } & \mbox{falls \[a \le 0\]}\end{cases}$

Enjoy, und bitte gegebenenfalls Fehler melden

Beitrag von **Thomas** » Mi 11. Feb 2009, 12:34

müsste alles stimmen denk ich ma sieht gut aus

Dre · Beitrag von **Dre** » Mi 11. Feb 2009, 17:02

Wie habt ihr bei b) die Konvergenz gezeigt? Schnall ich grad nich'.

SLS · Beitrag von **SLS** » Mi 11. Feb 2009, 19:09

Dre hat geschrieben:Wie habt ihr bei b) die Konvergenz gezeigt? Schnall ich grad nich'.

Es ist genau wie in Beispiel 5 aus der Übung am 06.02.2009: $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{e^x-1}}\,dx$

Nur geht es hier um $\cosh{x}$ und nicht um $e^{x}$ .

Man verwendet einfach die Reihenentwikclung von $\cosh{x}$ , wo der erste (eigentlich nullte) Summand wegfällt wegen der -1. Dann findet man passende Majoranten (einmal bei 0, und einmal bei $\infty$ ), indem man alle Summanden der Reihe weglässt bis auf einem passenden.

Die Majoranten sind bei mir:

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Bei 0: $\frac{1}{\sqrt[4]{\frac{x^2}{2!}}} = \frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{x}}$
Bei $\infty$ : $\frac{1}{\sqrt[4]{\frac{x^8}{8!}}} = \frac{\sqrt[4]{8!}}{x^2}$

Dre · Beitrag von **Dre** » Mi 11. Feb 2009, 19:31

Yo, leider musste die Übung ohne mich stattfinden.

Trotzdem schonmal Dank für die Tipps.

Jack08 · Beitrag von **Jack08** » Mi 11. Feb 2009, 20:44

Hi,
könnt mir vllt jemand n tip zur 54c geben? steh grad iwie da auf dem schlauch... -.-

danke schonma

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