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Aufgabe 54
Verfasst: Di 10. Feb 2009, 15:29
von Thomas
hat die schon jemand gelöst?
also bei mir konvergieren alle 4 integrale, hat das jemand auch so? bin mir nämlich nich besonders sicher
Re: Aufgabe 54
Verfasst: Di 10. Feb 2009, 21:11
von SLS
Thomas hat geschrieben:also bei mir konvergieren alle 4 integrale, hat das jemand auch so? bin mir nämlich nich besonders sicher
Ich bestätige, dass die ersten 3 konvergieren (die sind zwar fast genau wie in der Übung). Das vierte Integral habe ich noch nicht fertig - das allgemeine "a" bereitet mir Schwierigkeiten...
Re: Aufgabe 54
Verfasst: Di 10. Feb 2009, 22:46
von Thomas
da hab ich einfach e^t - 1 als summe entwickelt und dann erhält man ja ( t + t²/2 + t³/3! + ...)
also wäre meiner meinung nach t^a / ( t + t²/2 + t³/3! + ...) auf jeden fall kleiner als c / (t² + 1) wodurch die reihe konvergieren würde...
aba iwie is das halt auch nix genaues, bin aba trotzdem der meinung dass man das t^a auf jeden fall durch die reihe wegbekommt
Re: Aufgabe 54
Verfasst: Mi 11. Feb 2009, 02:13
von SLS
Dass man die Reihenentwicklung verwendet ist sinvoll, du hast Recht.
Leider ist es aber viel komplizierter - man muss aufpassen, dass das Integral auch bei 0 uneigentlich ist und man muss auch dort eine Majorante finden. Hier mein Ansatz, allerdings nur für
(das brauche ich, damit ich entsprechende Potenzen von t ausklammern kann - die niedrigste Potenz die in der Reihe vorkommt ist ja t^1...
EDIT: Siehe Post unten für vollständige Lösung
Falls die uneigentlichen Integrale rechts konvergieren, gilt:
Sei
beliebig.
Bei
(also für das rechte Integral):
Wir haben eine integrierbare Majorante auf
gefunden.
Bei 0 (also für das linke Integral):
Wir haben eine integrierbare Majorante auf
gefunden.
Re: Aufgabe 54
Verfasst: Mi 11. Feb 2009, 04:19
von SLS
Yay, endlich habe ich es (hoffentlich habe ich keinen dummen Fehler gemacht wegen der späten Uhrzeit):
Sei
beliebig, aber fest.
Einerseits gilt für
(die letzte Ungleichung gilt wegen
, also
):
Das ist eine integrierbare Majorante auf
Andererseits gilt für
:
.
Wegen
konvergiert
, und wir haben also eine integrierbare Majorante auf
.
Mit diesen beiden Majoranten konvergiert auch das gegebene uneigentliche Integral zumindest für
Sei nun
. Es gilt:
Die Divergenz im letzten Schritt folgt wegen dem Verhalten vom
: Das Argument vom Logarithmus geht gegen 0, also der Logarithmus selbst geht gegen
.
Für
ist
eine Minorante auf
, worüber das Integral auf
wie oben gezeigt divergiert. Somit divergiert auch das gegebene Integral.
Zusammenfassung:
Enjoy, und bitte gegebenenfalls Fehler melden
Re: Aufgabe 54
Verfasst: Mi 11. Feb 2009, 12:34
von Thomas
müsste alles stimmen denk ich ma sieht gut aus
Re: Aufgabe 54
Verfasst: Mi 11. Feb 2009, 17:02
von Dre
Wie habt ihr bei b) die Konvergenz gezeigt? Schnall ich grad nich'.
Re: Aufgabe 54
Verfasst: Mi 11. Feb 2009, 19:09
von SLS
Dre hat geschrieben:Wie habt ihr bei b) die Konvergenz gezeigt? Schnall ich grad nich'.
Es ist genau wie in Beispiel 5 aus der Übung am 06.02.2009:
Nur geht es hier um
und nicht um
.
Man verwendet einfach die Reihenentwikclung von
, wo der erste (eigentlich nullte) Summand wegfällt wegen der -1. Dann findet man passende Majoranten (einmal bei 0, und einmal bei
), indem man alle Summanden der Reihe weglässt bis auf einem passenden.
Die Majoranten sind bei mir:
Re: Aufgabe 54
Verfasst: Mi 11. Feb 2009, 19:31
von Dre
Yo, leider musste die Übung ohne mich stattfinden.
Trotzdem schonmal Dank für die Tipps.
Re: Aufgabe 54
Verfasst: Mi 11. Feb 2009, 20:44
von Jack08
Hi,
könnt mir vllt jemand n tip zur 54c geben? steh grad iwie da auf dem schlauch... -.-
danke schonma