Aufgabe 54
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Aufgabe 54
hat die schon jemand gelöst?
also bei mir konvergieren alle 4 integrale, hat das jemand auch so? bin mir nämlich nich besonders sicher
also bei mir konvergieren alle 4 integrale, hat das jemand auch so? bin mir nämlich nich besonders sicher
Re: Aufgabe 54
Ich bestätige, dass die ersten 3 konvergieren (die sind zwar fast genau wie in der Übung). Das vierte Integral habe ich noch nicht fertig - das allgemeine "a" bereitet mir Schwierigkeiten...Thomas hat geschrieben:also bei mir konvergieren alle 4 integrale, hat das jemand auch so? bin mir nämlich nich besonders sicher
When we say that two functions are almost always used together, we should remember that "almost" is a euphemism for "not."
-- David L. Parnas, "Designing Software for Ease of Extension and Contraction"
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Re: Aufgabe 54
da hab ich einfach e^t - 1 als summe entwickelt und dann erhält man ja ( t + t²/2 + t³/3! + ...)
also wäre meiner meinung nach t^a / ( t + t²/2 + t³/3! + ...) auf jeden fall kleiner als c / (t² + 1) wodurch die reihe konvergieren würde...
aba iwie is das halt auch nix genaues, bin aba trotzdem der meinung dass man das t^a auf jeden fall durch die reihe wegbekommt
also wäre meiner meinung nach t^a / ( t + t²/2 + t³/3! + ...) auf jeden fall kleiner als c / (t² + 1) wodurch die reihe konvergieren würde...
aba iwie is das halt auch nix genaues, bin aba trotzdem der meinung dass man das t^a auf jeden fall durch die reihe wegbekommt
Re: Aufgabe 54
Dass man die Reihenentwicklung verwendet ist sinvoll, du hast Recht.
Leider ist es aber viel komplizierter - man muss aufpassen, dass das Integral auch bei 0 uneigentlich ist und man muss auch dort eine Majorante finden. Hier mein Ansatz, allerdings nur für (das brauche ich, damit ich entsprechende Potenzen von t ausklammern kann - die niedrigste Potenz die in der Reihe vorkommt ist ja t^1...
EDIT: Siehe Post unten für vollständige Lösung
Leider ist es aber viel komplizierter - man muss aufpassen, dass das Integral auch bei 0 uneigentlich ist und man muss auch dort eine Majorante finden. Hier mein Ansatz, allerdings nur für (das brauche ich, damit ich entsprechende Potenzen von t ausklammern kann - die niedrigste Potenz die in der Reihe vorkommt ist ja t^1...
EDIT: Siehe Post unten für vollständige Lösung
PRIME_BBCODE_SPOILER_SHOW PRIME_BBCODE_SPOILER: auf Anzeigen klicken
Falls die uneigentlichen Integrale rechts konvergieren, gilt:
Sei beliebig.
Bei (also für das rechte Integral):
Wir haben eine integrierbare Majorante auf gefunden.
Bei 0 (also für das linke Integral):
Wir haben eine integrierbare Majorante auf gefunden.
Sei beliebig.
Bei (also für das rechte Integral):
Wir haben eine integrierbare Majorante auf gefunden.
Bei 0 (also für das linke Integral):
Wir haben eine integrierbare Majorante auf gefunden.
Zuletzt geändert von SLS am Mi 11. Feb 2009, 04:20, insgesamt 1-mal geändert.
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Re: Aufgabe 54
Yay, endlich habe ich es (hoffentlich habe ich keinen dummen Fehler gemacht wegen der späten Uhrzeit):
Sei beliebig, aber fest.
Einerseits gilt für (die letzte Ungleichung gilt wegen , also ):
Das ist eine integrierbare Majorante auf
Andererseits gilt für :
.
Wegen konvergiert , und wir haben also eine integrierbare Majorante auf .
Mit diesen beiden Majoranten konvergiert auch das gegebene uneigentliche Integral zumindest für
Sei nun . Es gilt:
Die Divergenz im letzten Schritt folgt wegen dem Verhalten vom : Das Argument vom Logarithmus geht gegen 0, also der Logarithmus selbst geht gegen .
Für ist eine Minorante auf , worüber das Integral auf wie oben gezeigt divergiert. Somit divergiert auch das gegebene Integral.
Zusammenfassung:
Enjoy, und bitte gegebenenfalls Fehler melden
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Sei beliebig, aber fest.
Einerseits gilt für (die letzte Ungleichung gilt wegen , also ):
Das ist eine integrierbare Majorante auf
Andererseits gilt für :
.
Wegen konvergiert , und wir haben also eine integrierbare Majorante auf .
Mit diesen beiden Majoranten konvergiert auch das gegebene uneigentliche Integral zumindest für
Sei nun . Es gilt:
Die Divergenz im letzten Schritt folgt wegen dem Verhalten vom : Das Argument vom Logarithmus geht gegen 0, also der Logarithmus selbst geht gegen .
Für ist eine Minorante auf , worüber das Integral auf wie oben gezeigt divergiert. Somit divergiert auch das gegebene Integral.
Zusammenfassung:
Zuletzt geändert von SLS am Mi 11. Feb 2009, 20:45, insgesamt 1-mal geändert.
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Re: Aufgabe 54
müsste alles stimmen denk ich ma sieht gut aus
Re: Aufgabe 54
Es ist genau wie in Beispiel 5 aus der Übung am 06.02.2009:Dre hat geschrieben:Wie habt ihr bei b) die Konvergenz gezeigt? Schnall ich grad nich'.
Nur geht es hier um und nicht um .
Man verwendet einfach die Reihenentwikclung von , wo der erste (eigentlich nullte) Summand wegfällt wegen der -1. Dann findet man passende Majoranten (einmal bei 0, und einmal bei ), indem man alle Summanden der Reihe weglässt bis auf einem passenden.
Die Majoranten sind bei mir:
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Bei 0:
Bei :
Bei :
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Re: Aufgabe 54
Yo, leider musste die Übung ohne mich stattfinden.
Trotzdem schonmal Dank für die Tipps.
Trotzdem schonmal Dank für die Tipps.
Cheers André
Re: Aufgabe 54
Hi,
könnt mir vllt jemand n tip zur 54c geben? steh grad iwie da auf dem schlauch... -.-
danke schonma
könnt mir vllt jemand n tip zur 54c geben? steh grad iwie da auf dem schlauch... -.-
danke schonma