Aufgabe 52

Christian S. · Beitrag von **Christian S.** » Di 3. Feb 2009, 15:36

Hi, hat jemand schon zur 52 (2) eine Idee? Ich bin mir unsicher, wie ich hier vorgehen soll: Das Integral nur in Abhängigkeit von x bestimmen oder auch in Abhängigkeit von n (im Sinne der Stammfunktion).

offlinemode · Beitrag von **offlinemode** » Di 3. Feb 2009, 18:11

Soweit bin ich noch nich

Hier mal die Stammfunktionen zur (1) laut Maple:

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a) $\frac{1}{3}x^3ln(x)-\frac{x^3}{9}$

b) $ln(ln(x))$

c) $-\frac{1}{32}*\frac{8x^2+4x+1}{{(e^{2x}})^2}$

d) $-\frac{ln(x)}{x}-\frac{1}{x}$

Beitrag von **Thomas** » Di 3. Feb 2009, 23:19

reichts bei der 1 eigentlich einfach die funktion hinzuschreiben oda?

Patric · Beitrag von **Patric** » Di 3. Feb 2009, 23:23

Christian S. hat geschrieben:Hi, hat jemand schon zur 52 (2) eine Idee? Ich bin mir unsicher, wie ich hier vorgehen soll: Das Integral nur in Abhängigkeit von x bestimmen oder auch in Abhängigkeit von n (im Sinne der Stammfunktion).

du schaust einfach ob die Funktionenfolge glm konvergiert, und wenn sie glm konvergiert ist es einfach das Integral von der Funktion gegen die sie glm konvergiert.

aber kann mir einer nen Ansatz für die 1.) c.) sagen komm grad irgendwie nich drauf.

edit: seh grad das ich paar rechtschreibfehler drinnen hatte...

Christian S. · Beitrag von **Christian S.** » Mi 4. Feb 2009, 00:18

Patric hat geschrieben:
Christian S. hat geschrieben:Hi, hat jemand schon zur 52 (2) eine Idee? Ich bin mir unsicher, wie ich hier vorgehen soll: Das Integral nur in Abhängigkeit von x bestimmen oder auch in Abhängigkeit von n (im Sinne der Stammfunktion).
du schaust einfach ob die Funktionenfolge glm konvertiert, und wenn sie glm konviertiert ist es einfach das Integral von der Funktion gegen die sie glm konvertiert.

aber kan mir einer nen Ansatz für die 1.) c.) sagen komm grad irgendwie nich drauf.

Dreimal partiell integrieren und dabei den 1/e^2x-Teil "aufleiten", den anderen hinten im Integral ableiten.

Tankwart · Beitrag von **Tankwart** » Mi 4. Feb 2009, 03:23

Patric hat geschrieben:du schaust einfach ob die Funktionenfolge glm konvergiert, und wenn sie glm konvergiert ist es einfach das Integral von der Funktion gegen die sie glm konvergiert.

Wie komm ich denn auf die Grenzfunktion?

SLS · Beitrag von **SLS** » Mi 4. Feb 2009, 03:41

Tankwart hat geschrieben:Wie komm ich denn auf die Grenzfunktion?

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${1\over{n}}*e^{-nx^2} = {1\over{ne^{nx^2}}} \stackrel{x^2 \ge 0 \Rightarrow ne^{nx^2} \to \infty (n \to \infty)}{\to}0$ für alle $x \in [0,1]$

Somit konvergiert $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ punktweise gegen $f \equiv 0$ .
Nun muss man sich noch überlegen, ob die Konvergenz gleichmäßig ist, und wenn ja - dann darf man Limes und Integral vertauschen.

Ich habe aber ein Problem mit (2)b). Ist vielleicht jemand weiter gekommen?

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Wenn ich mich nicht irre, konvergiert die Funktionenfolge auch gegen $f \equiv 0$ , diesmal aber nicht gleichmäßig (etwa für $x = {{1}\over{n}} \in [0, 1]$ gilt $f_n(x) = {{\sin(1)}\over{2}}$ für jedes $n \in \mathbb{N}$ ). Was nun? Man darf also nicht Limes und Integral vertauschen. Es sieht zu kompliziert aus, erstmals den Integral zu berechnen für allgemeines n, um bestimmen zu können, ob die Folge der Integrale konvergiert, oder?

EDIT: Mir ist folgendes eingefallen, weiß nur nicht ob es stimmt.Es ergibt sich:

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$\left|\int_0^1 {{\sin(nx)}\over{1+nx}}\right| \le \int_0^1 {{|\sin(nx)|}\over{1+nx}} \le \int_0^1 {{1}\over{1+nx}} = \left[{{\log(nx+1)}\over{n}}\right]_0^1 = {\log(n+1)\over{n}}$ für jedes $n \in \mathbb{N}$ .
Aber es gilt: ${\log(n+1)\over{n}} \stackrel{n \to \infty}{\to}0$ , und somit konvergiert die Folge der Integrale gegen 0 für $n \to \infty$

Patric · Beitrag von **Patric** » Mi 4. Feb 2009, 04:29

SLS hat geschrieben:
Tankwart hat geschrieben:Wie komm ich denn auf die Grenzfunktion?

PRIME_BBCODE_SPOILER_SHOW PRIME_BBCODE_SPOILER: auf Anzeigen klicken
${1\over{n}}*e^{-nx^2} = {1\over{ne^{nx^2}}} \stackrel{x^2 \ge 0 \Rightarrow ne^{nx^2} \to \infty (n \to \infty)}{\to}0$ für alle $x \in [0,1]$
Somit konvergiert $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ punktweise gegen $f \equiv 0$ .
Nun muss man sich noch überlegen, ob die Konvergenz gleichmäßig ist, und wenn ja - dann darf man Limes und Integral vertauschen.

Ich habe aber ein Problem mit (2)b). Ist vielleicht jemand weiter gekommen?
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Wenn ich mich nicht irre, konvergiert die Funktionenfolge auch gegen $f \equiv 0$ , diesmal aber nicht gleichmäßig (etwa für $x = {{1}\over{n}} \in [0, 1]$ gilt $f_n(x) = sin(1)/2$ für jedes $n \in \mathbb{N}$ ). Was nun? Man darf also nicht Limes und Integral vertauschen. Es sieht zu kompliziert aus, erstmals den Integral zu berechnen für allgemeines n, um bestimmen zu können, ob die Folge der Integrale konvergiert, oder?

also die b) kann man glaub ich sagen das sie nicht glm konv ist da für x = 0 das gegen 1 konv und für alle anderen gegen 0, aber da bin ich mir eben auch nicht so sicher

SLS · Beitrag von **SLS** » Mi 4. Feb 2009, 04:42

Patric hat geschrieben: also die b) kann man glaub ich sagen das sie nicht glm konv ist da für x = 0 das gegen 1 konv und für alle anderen gegen 0, aber da bin ich mir eben auch nicht so sicher

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Doch, für $x=0$ haben alle $f_n(x)$ den Wert 0 (es ist ja ${{sin(n*0)}\over{(1+n*0)}} = {{0}\over{1}} = 0)$ , und somit gilt $f_n(x) \to 0 (x=0, n \to \infty)$ , oder verstehe ich nicht was du meinst?

Aber wie gesagt, die b) konvergiert sowieso nicht gleichmäßig (punktweise schon, aber nicht gleichmäßig) gegen $f \equiv 0$ , eben weil für jedes $n \in \mathbb{N}$ $f_n({{1}\over{n}}) = {{sin(1)}\over{2}}$ gilt. (wobei ${1}\over{n}$ wirklich in der Definitionsmenge $[0,1]$ liegt!). Also kann $f_n(x)$ für kein $n \in \mathbb{N}$ komplett in einem ausreichend kleinen epsilon-Schlauch (nämlich $\epsilon < {{sin(1)}\over{2}}$ ) um die Grenzfunktion $\equiv$ Nullfunktion liegen

Siehe auch den Edit von meinem obigen Post

Patric · Beitrag von **Patric** » Mi 4. Feb 2009, 12:37

ach schitt danke... hatte die abschätzung gemacht das sin(nx) <= 1 ist und dann mit der Abschätzung rumgespielt die gegen 1 geht für x = 0 -.-

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