Aufgabe 3

Britta · Beitrag von **Britta** » So 1. Feb 2009, 21:33

So... diese Aufgabe macht mir Probleme. Mir fehlt komplett der Ansatz, bzw. fällt mir dazu nur wirres Zeug ein.

zu a) Was ist mit id_V gemeint? Ist das die Einheitsmatrix zu V oder was?

zu b) Ist nicht schon offentlichlich, dass AB=BA nur für die Einheitsmatrix und deren Vielfache gelten kann, wenns es für jedes bliebige B gelten soll?

DFYX · Beitrag von **DFYX** » So 1. Feb 2009, 22:10

Mit $id_V$ ist die Identitätsabbildung gemeint. Sprich: jedes Element wird auf sich selbst abgebildet. Als Abbildungsmatrix hat die im Übrigen tatsächlich die Einheitsmatrix.

kimbo · Beitrag von **kimbo** » Mo 2. Feb 2009, 00:40

also ehrlich gesagt, kann ich bei der b) nicht mal nen gescheiten einleitungssatz erkennen oO
entweder hat sich da der fehlerteufel eingeschlichen, oder die mathematiker definieren unsere schönen deutschen wörter wie zb. "vertauschen" um!
ich versteh hier beim besten willen nich, was zu tun is...

SLS · Beitrag von **SLS** » Mo 2. Feb 2009, 04:12

Ich glaube, ich habe die Aufgabe gelöst, obwohl man auf derselben Weise zunächst (b) zeigen kann. Ich arbeite also mit Matrizen und nicht mit der Abbildung:

Bezeichnen wir diese "allgemeingültige" Abbildungsmatrix mit A, gilt es nach Voraussetzung für alle Basiswechselmatrizen S (also alle $S \in GL(n, \mathbb{K})$ (oder?) ):

$A = S^{-1} A S$
Somit:
$SA = SS^{-1} A S$
Also:
$SA = AS$ (*)

Wenn das für alle $S \in GL(n, \mathbb{K})$ gilt, gilt es insbesondere für alle $S_{pq} \in GL(n, \mathbb{K})$ mit $p,q \in \{1,...,n\}, p \neq q$ und $(S_{pq})_{ij} = \delta_{ij} + \delta_{ip}\delta_{jq}$ .

(Diese sind einfach die Einheitsmatrix mit einer hinzugefügten Eins auf der stelle pq).

Mit (*) gilt:
$\sum_{k=1}^{n}{(S_{pq})_{ik}a_{kj}} = (S_{pq}A)_{ij} = (AS_{pq})_{ij} = \sum_{k=1}^{n}{a_{ik}(S_{pq})_{kj}}$
Nach definition von $(S_{pq})_{ij}$ fallen viele Summanden weg und es bleibt jeweils:

$a_{ij} + \delta_{ip}a_{qj} = (AS_{pq})_{ij} = a_{ij} + \delta_{jq}a_{ip}$
Somit:
$\delta_{ip}a_{qj} = \delta_{jq}a_{ip}$
und das gilt für alle $p,q \in \{1,...,n\}, p \neq q$ und alle $i,j \in \{1,...,n\}$

Insbesondere gilt für $i=p, j=q: a_{qq} = a_{pp}$ (für alle p,q!)
also sind alle Einträge auf der Hauptdiagonale gleich.
Für $i=p, j \neq q: a_{qj} = 0$ . (für alle p,q!)
Also sind alle andere Einträge gleich 0.

Somit: $A=\lambda{}E_n$
Und somit: $\Phi=\lambda{}id_V$

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Aufgabe 3

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