Aufgabe 2

[Christian S.]

Hallo, hat jemand schon zur b) einen Ansatz? Mir ist unklar, wieso diese beiden Abbildungen in der Form K² aufspannen sollen, da die einzige Bedingung, die an sie gestellt wird, ja ist, dass sie linear unabhängig sind.

[Britta]

Hallo, hat jemand schon zur b) einen Ansatz? Mir ist unklar, wieso diese beiden Abbildungen in der Form K² aufspannen sollen, da die einzige Bedingung, die an sie gestellt wird, ja ist, dass sie linear unabhängig sind.

Naja, wenn die linear unabhängig sind, spannen sie den K² auf, weil sie eine Basis davon darstellen könnten... Mach dir mal Gedanken drüber. So schwer ist's wirklich nicht.

Mein Problem liegt eher be ider c). Ich komme mit diesen komischen Faktor-/Quotientenräumen nicht so ganz klar. Irgendwelche hilfreichen Ansätze von eurer Seite?

lG

[localhorst]

Mein Problem liegt eher be ider c). Ich komme mit diesen komischen Faktor-/Quotientenräumen nicht so ganz klar. Irgendwelche hilfreichen Ansätze von eurer Seite?

Meine Überlegungen..

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Ich hab mir zuerst den Kern Phi angeschaut, dessen Basis man durch scharfes Hinsehen oder Gaussen auf (1/2, 0, 1) bekommt (diejenigen, die von Phi auf 0 abgebildet werden).. das dann zu einer Basis von R^3 ergänzen, die beiden zusätzlichen schnappen und die als Basis von V/Kern(Phi) nehmen (wie Blatt 10, nr2b))

Bei der Abbildungsmatrix bin ich auch ein wenig unsicher.. wenn ich mich nicht irre ist es aber (fast) die Einheitsmatrix (sofern man konservativ bei der Basisergänzung war)

[Thomas]

kann ich bei der a eigentlich davon ausgehen dass phi und psi linear unabhängig sind? eigentlich schon oda

[Britta]

kann ich bei der a eigentlich davon ausgehen dass phi und psi linear unabhängig sind? eigentlich schon oda

Wenn du mit phi und psi die Elemente aus V* meinst, dann kannst du davon ausgehen, dass es sich um lineare Abbildungen handelt (V*=Hom(V,IK) = Menge aller linearen Abbildungen von V nach IK)... damit sollte der Linearitätsbeweis eigentlich nicht mehr so schwer sein.

Bei der b kannst du dann für die Rückrichtung davon ausgehen dass diese Elemente linear unabhängig sind

Außer in meinen Überlegungen hat sich ein Fehler eingeschlichen.

[Thomas]

kann ich bei der a eigentlich davon ausgehen dass phi und psi linear unabhängig sind? eigentlich schon oda

Wenn du mit phi und psi die Elemente aus V* meinst, dann kannst du davon ausgehen, dass es sich um lineare Abbildungen handelt (V*=Hom(V,IK) = Menge aller linearen Abbildungen von V nach IK)... damit sollte der Linearitätsbeweis eigentlich nicht mehr so schwer sein.

Bei der b kannst du dann für die Rückrichtung davon ausgehen dass diese Elemente linear unabhängig sind

Außer in meinen Überlegungen hat sich ein Fehler eingeschlichen.

ok da hab ich natürlich die aufgabenstellung sehr unaufmerksam gelesen aba danke für die schnelle antwort

[Britta]

kein Problem

[SLS]

Hmm, könnte mir jemand mit der Rückrichtung in 3b) (phi, psi linear unabhängig => Phi surjektiv) helfen?
Irgendwie komme ich mit dem Tipp von Britta nicht weiter...
Ich habe den ganzen Tag lang nur den LA-Blatt gemacht und es bleibt mir nur noch diese Teilaufgabe, und das nervt...
Ich habe hier so vieles (etwa auch die Aussage indirekt zu beweisen: Phi nicht surjektiv => phi, psi lin. abh.) probiert, und mehrere Seiten aufgeschrieben, aber ohne Erfolg...

[Britta]

Hmm, könnte mir jemand mit der Rückrichtung in 3b) (phi, psi linear unabhängig => Phi surjektiv) helfen?
Irgendwie komme ich mit dem Tipp von Britta nicht weiter...
Ich habe den ganzen Tag lang nur den LA-Blatt gemacht und es bleibt mir nur noch diese Teilaufgabe, und das nervt...
Ich habe hier so vieles (etwa auch die Aussage indirekt zu beweisen: Phi nicht surjektiv => phi, psi lin. abh.) probiert, und mehrere Seiten aufgeschrieben, aber ohne Erfolg...

Wenn phi, psi linear unabhängig sind, dann spannen sie zusammen den IK² auf, da ja jede dieser Abbildung auf ein Element aus IK abbildet. Packt man die zusammen in einen Vektor, wie es bei unserer linearen Abbildung der Fall ist, dann spannt diese lineare Abbildung also auch den IK² auf => Bild der linearen Abbildung ist IK² = Zielraum => Abbildung ist surjektiv.

Eigentlich ist nur die Hinrichtung umgekehrt und mit ein paar anderen Pfeilen, ich weiß aber nicht, ob das so richtig ist

[SLS]

Wenn phi, psi linear unabhängig sind, dann spannen sie zusammen den IK² auf, da ja jede dieser Abbildung auf ein Element aus IK abbildet.

Ich kann leider damit nichts anfangen
phi und psi selbst spannen ein Untervektorraum von V* mit "dim [phi, psi] = 2" und nicht irgendwie IK².
Danke aber immer noch! Ich werde noch ein bisschen damit herumspielen.

EDIT: Ich habe letztendlich folgendes ausgedacht (nicht bis zum Ende ):

Da lin.un. sind, kann nicht die eine ein Vielfaches der anderen sein:


Somit:
.
Folglich:
.
Insbesondere also für :

Analog: