Blatt 12 - Aufgabe 45

[DFYX]

Jo Sf wäre ja:



Nur wie berechne ich davon den Grenzwert für n->unendlich ? -.-

Also erstmal sollte das sein. Wie man weiter kommt, weiß ich aber auch noch nicht so ganz.

[Thomas]

Potenzreihenentwicklung! Das gibts ja auch noch

lang lang ists her. Das ist mir jetzt wirklich noch nicht gekommen. Wäre natürlich ne Möglichkeit.

Wie hast du eigentlich die ganze Aufgabe gemacht? Alles als Potreihe entwickelt, oder hast du auch so ne Formel für die Summe genommen? Denn so etwas zu wissen... Bei der a) kann man ja noch sagen, dass sowas mehr oder weniger zum Allgemeinwissen dazugehört. Aber hier... ne^^

also bei der a) hab ich auch diese formel genommen, weil ich die schon ma für gdi gesucht hatte, bewiesen hab ich da aba nix...
als ich deinen ausdruck gesehen hab hab ich ma bei wikipedia gemoetrische reihe eingegeben. und dass die reihe nur konvergiert wenn |q| < 1 ist, gilt nur für unendliche reihen, hier handelt sichs aba um ne endliche reihe, daher denk ich dass man das benutzen kann und es passt ja auch^^
http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe
hier is auf jeden fall mal der link. als q hab ich dann e ^ (1/n) genommen und als a0 = 1/n. also müsste es eigentlich so gehen, sicher kann ichs aber natürlich nicht sagen. bei Sf hab ich aber die summe von j=0 bis unendlich gemacht und das zusätzliche am schluss halt wieder abgezogen.
bei sf ergibts sich dass ja schon durch die indexverschiebung

[markusj]

als ich deinen ausdruck gesehen hab hab ich ma bei wikipedia gemoetrische reihe eingegeben. und dass die reihe nur konvergiert wenn |q| < 1 ist, gilt nur für unendliche reihen, hier handelt sichs aba um ne endliche reihe, daher denk ich dass man das benutzen kann und es passt ja auch^^
http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrisc ... sche_Reihe
hier is auf jeden fall mal der link. als q hab ich dann e ^ (1/n) genommen und als a0 = 1/n. also müsste es eigentlich so gehen, sicher kann ichs aber natürlich nicht sagen. bei Sf hab ich aber die summe von j=0 bis unendlich gemacht und das zusätzliche am schluss halt wieder abgezogen.
bei sf ergibts sich dass ja schon durch die indexverschiebung

Ehm, dass das ganze funktioniert, hast du aber einer bestimmten Tatsache zu verdanken: e^(j/n) bzw e^((j-1)/n) ist immer <= e, damit ist das ganze mal 1/n ab n>=3 insgesamt kleiner als 1 und somit kannst du die geometrische Reihe anwenden.
Meines Erachtens gelten hier nämlich die selben Maßstäbe wie für gewöhnliche Potzenzreihen, und da du ja den Grenzwert für n -> oo berechnen willst, machst du genau das selbe wie früher für die Partialsummen s_k.

mfG
Markus

Edit: Linkification - fail

[Johann]

über maple bekomm ich ne Formel in der Art wie bei a):


[ e^( (n+1) / n) / (n* e^(1/n) - n) ] - [ e^(1/n) / (n* e^(1/n) - n) ]


Die Zähler gehen für n -> unendl. ja klar gegen das Gewünschte ( e - 1) und die nenner laut maple gegen 1. habs bis jetzt nur noch nicht hinbekommen, die von Hand konvergieren zu lassen...

Ich bin wie immer viel zu spät dran, aber für den Fall, dass du das doch noch liest:

Genau diese Sache hat mich jetzt eine ganze Weile beschäftigt, mit Google bin ich dann auf ein Buch gestoßen, das genau das Problem behandelt und auch erklärt wieso der Nenner 1 ergibt. Du hast ja n*[e^(1/n)-1], statt mit n zu multiplizieren kannst du ja aber auch durch 1/n dividieren, wonach du einen Bruch hast. Und auf diesen Bruch wendest du L'Hospital an, welcher 1 ergibt. Das ist der ganze Trick hier!

Hier der Link: http://books.google.de/books?id=Idv9xAM ... #PPA311,M1

[Thomas]

als ich deinen ausdruck gesehen hab hab ich ma bei wikipedia gemoetrische reihe eingegeben. und dass die reihe nur konvergiert wenn |q| < 1 ist, gilt nur für unendliche reihen, hier handelt sichs aba um ne endliche reihe, daher denk ich dass man das benutzen kann und es passt ja auch^^
http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe
hier is auf jeden fall mal der link. als q hab ich dann e ^ (1/n) genommen und als a0 = 1/n. also müsste es eigentlich so gehen, sicher kann ichs aber natürlich nicht sagen. bei Sf hab ich aber die summe von j=0 bis unendlich gemacht und das zusätzliche am schluss halt wieder abgezogen.
bei sf ergibts sich dass ja schon durch die indexverschiebung

Ehm, dass das ganze funktioniert, hast du aber einer bestimmten Tatsache zu verdanken: e^(j/n) bzw e^((j-1)/n) ist immer <= e, damit ist das ganze mal 1/n ab n>=3 insgesamt kleiner als 1 und somit kannst du die geometrische Reihe anwenden.
Meines Erachtens gelten hier nämlich die selben Maßstäbe wie für gewöhnliche Potzenzreihen, und da du ja den Grenzwert für n -> oo berechnen willst, machst du genau das selbe wie früher für die Partialsummen s_k.

mfG
Markus

Edit: Linkification - fail

a0=5 und q=3. die werte haben die aba im beispiel benutzt, naja muss ja auch nicht alles stimmen was auf wikipedia steht. denke aba schon, dass das hier passt. auch beim beispiel von johann verwenden die die geometrische reihe.