Aufgabe 3

kukugo · Beitrag von **kukugo** » Fr 16. Jan 2009, 22:18

wie loest man diese Aufgabe?

SLS · Beitrag von **SLS** » Sa 17. Jan 2009, 15:33

Zeige jeweils, ob folgendes erfüllt ist (Hilfssatz 9.2 aus dem Skript):

Für alle $\alpha, \beta \in \mathbb{K}, v_1, v_2 \in V$ (wo $\mathbb{K}$ der Grundkörper ist (dieser ist nur in Teilaufgabe (d) spezifiziert), und $V$ der jeweilige Vektorraum) gilt:
$\Phi(\alpha v_1 + \beta v_2) = \alpha \Phi (v_1) + \beta \Phi (v_2)$

Ganz kurz ist die Vorgehensweise wie folgt:
1. "Seien $\alpha, \beta \in \mathbb{K}, v_1, v_2 \in V$ beliebig" (man sollte dabei V mit dem jeweiligen Vektorraum ersetzen (mit der Definitionsmenge von $\Phi$ in der Teilaufgabe))
2. $\Phi(\alpha v_1 + \beta v_2) =$
3. Nun, durch Skalarmultiplikation und Vektoraddition, fasse das Argument zu einem Vektor zusammen.
4. Berechne anhand der jeweiligen Defitnion von $\Phi$ was $\Phi(Argument)$ ist.
----
5. Als NEBENBerechnung guck was rauskommt, wenn man $\alpha \Phi (v_1) + \beta \Phi (v_2)$ berechnet (anhand der Definition von $\Phi$ , und danach mithilfe von Skalarmultiplikation und Vektoraddition).
6. Falls die Abbildung linear ist, sollte man nun in 4. und in 5. dasselbe bekommen (evtl. bis auf sehr einfache Umformungen (etwa Umtauschen, Ausklammern, usw.)).
----
7. Nun kann man es in der richtigen Reihenfolge weiterschreiben, indem man seine Nebenberechnung "umkehrt", und zum obigen Ansatz "anklebt", entweder mit einem Gleichheitszeichen (falls linear), oder mit $\neq$ (falls nicht linear)).

Frage zu allen - was bekommt ihr als Ergebnis? Bei mir:

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Alle sind linear

Christian S. · Beitrag von **Christian S.** » Sa 17. Jan 2009, 17:06

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Habe ich auch so, nachdem mich jemand darauf hingewiesen hat, dass Abb(N, R) der Vektorraum der Abbildungen ist

. Bin mir aber noch nicht ganz sicher, wie ich die c) "schön" aufschreiben soll.

SLS · Beitrag von **SLS** » Sa 17. Jan 2009, 18:59

Christian S. hat geschrieben:
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Habe ich auch so, nachdem mich jemand darauf hingewiesen hat, dass Abb(N, R) der Vektorraum der Abbildungen ist . Bin mir aber noch nicht ganz sicher, wie ich die c) "schön" aufschreiben soll.

Abb(N, R) ist einfach der Vektorraum der reelen Folgen (wo die Indizes mit 1 anfangen).

Zum schönen Aufschreibеn:
Seien $\alpha, \beta \in \mathbb{K}, (a_i)_{i \in \mathbb{N}}, (b_i)_{i \in \mathbb{N}} \in Abb(\mathbb{N}, \mathbb{R})$ beliebig.
Definiere $c_i := \alpha a_i + \beta b_i$ , $d_i := c_{i+1} = \alpha a_{i+1} + \beta b_{i+1}$ .
(Weiter helfe ich nicht

)
---
Beachte, dass mit den obigen Definitionen gilt: $\Phi_3 ( (c_i) ) = (d_i)$
Beachte auch, dass die doppelten Klammern oben kein Tippfehler sind.

localhorst · Beitrag von **localhorst** » Sa 17. Jan 2009, 21:57

SLS hat geschrieben:c)
[...]

Zum schönen Aufschreibеn:
Seien $\alpha, \beta \in \mathbb{K}, (a_i)_{i \in \mathbb{N}}, (b_i)_{i \in \mathbb{N}} \in Abb(\mathbb{N}, \mathbb{R})$ beliebig.
Definiere $c_i := \alpha a_i + \beta b_i$ , $d_i := c_{i+1} = \alpha a_{i+1} + \beta b_{i+1}$ .

Ich hab es mit den beiden einzelnen Kriterien gemacht, da geht es ziemlich schick direkt (einfach Definition einsetzen).

SLS hat geschrieben:(Weiter helfe ich nicht )

Warum nicht?

SLS hat geschrieben:Beachte, dass mit den obigen Definitionen gilt: $\Phi_3 ( (c_i) ) = (d_i)$
Beachte auch, dass die doppelten Klammern oben kein Tippfehler sind.

Warum nicht? Folgen müssen imo nur in Texten geklammert werden, sonst müsstest du ja auch immer $(a_i) := (...)$ statt $a_i := (...)$ schreiben. Oder übersehe ich etwas? Hier konkret wäre denk ich formal nur soetwas korrekt:
$\Phi_3 ( c_i ) = d_i (i \in \mathbb{N})$

SLS · Beitrag von **SLS** » So 18. Jan 2009, 06:51

localhorst hat geschrieben: Ich hab es mit den beiden einzelnen Kriterien gemacht, da geht es ziemlich schick direkt (einfach Definition einsetzen).

Durchaus möglich, und vielleicht auch besser (also kürzer und/oder leichter), bravo!

localhorst hat geschrieben:
SLS hat geschrieben:(Weiter helfe ich nicht )
Warum nicht?

Weil ich keine Lust dazu habe, weil es für mich zu einfach ist

(Aber guck mal in GBI-Forum wozu ich alles Lust habe

)

localhorst hat geschrieben:
SLS hat geschrieben:Beachte, dass mit den obigen Definitionen gilt: $\Phi_3 ( (c_i) ) = (d_i)$
Beachte auch, dass die doppelten Klammern oben kein Tippfehler sind.
Warum nicht? Folgen müssen imo nur in Texten geklammert werden, sonst müsstest du ja auch immer $(a_i) := (...)$ statt $a_i := (...)$ schreiben. Oder übersehe ich etwas? Hier konkret wäre denk ich formal nur soetwas korrekt:
$\Phi_3 ( c_i ) = d_i (i \in \mathbb{N})$

Also, rein formal ist $c_i$ eine konkrete Zahl (in unserem Fall eine reele Zahl) - nichts mehr, nichts weniger.
Dagegen wird mit $( c_i )_{i \in \mathbb{N}$ oder kurz $( c_i )$ eine Funktion bezeichnet, die einem Index $i$ seinen Wert $c_i$ zuordnet.
$\Phi_3$ bekommt nach Definition als Argument eine Funktion. Nenne nur $f := ( c_i )$ , Somit:
$\Phi_3( f ) = \Phi_3( ( c_i ) )$ durch reines Einsetzen.
---
$\Phi_3( c_i )$ ist mathematisch gesehen Unsinn

--
Beachte nun die formale SW für Rechnung mit Folgen, die als VR aufgefasst sind:
$\alpha (a_i) + \beta (b_i) \stackrel{Skalarmultiplikation}{=} (\alpha a_i) + (\beta b_i) \stackrel{Vektoraddition}{=} (\alpha a_i + \beta b_i)$
Dabei dürfen die letzten Klammern nicht wegfallen, obwohl diese an den Ränden stehen!!! Vergiss nicht, dass das oben nur eine kurze Schreibweise für Folgendes ist:
$\alpha (a_i)_{i \in \mathbb{N}} + \beta (b_i)_{i \in \mathbb{N}} \stackrel{SM}{=} (\alpha a_i)_{i \in \mathbb{N}} + (\beta b_i)_{i \in \mathbb{N}} \stackrel{VA}{=} (\alpha a_i + \beta b_i)_{i \in \mathbb{N}}$
Das ist eine Gleichheit von Vektoren (in diesem Fall von Folgen, also Funktionen), und nicht von Zahlen.
Mann, ist LA aber abstrakt...

deuirka · Beitrag von **deuirka** » Mo 19. Jan 2009, 01:07

kann mir jemand einen Tipp geben,wie man bei b vorgeht? wäre demjenigen sehr dankbar!

Tankwart · Beitrag von **Tankwart** » Mo 19. Jan 2009, 01:16

SLS hat geschrieben:2. $\Phi(\alpha v_1 + \beta v_2) =$
3. Nun, durch Skalarmultiplikation und Vektoraddition, fasse das Argument zu einem Vektor zusammen.

Kann mir vll jemand kurz sagen wie das zusammengefasste Argument bei der a) aussieht? Oder stimmt das so:

$\begin{pmatrix}\alpha* v_{11}+\beta* v_{21}\\ \alpha* v_{12}+\beta* v_{22}\\ \alpha* v_{13}+\beta* v_{23}\\\end{pmatrix}$

Beitrag von **Thomas** » Mo 19. Jan 2009, 02:59

ich würde immer die beiden definitionen einzeln durchgehen find ich einfacher aba ja so müsste das zussamengefasste argument aussehen. ich hab mal ne frage zur d) und zwar soll z eine komplexe zahl sein? und wenn ich dann c*z mache muss ich das ganze in realteil und imaginärteil aufteilen weil sonst hätte man ja dann z.b einfach nur c(x+y) = cx + cy oder denk ich hier zu einfach bzw überseh iwas?

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