Aufgabe 37 (K)

[ryo]

Hier meine Lösungsansätze

a)

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e^y^2 - e^x^2 <= (y-x)(x+y)*e^y^2

f(t) = e^t
nach MWS ex ein xi element (x,y) mit

f(y^2) - f(x^2) = f'(xi) (y^2 - x^2)
= (y-x)(y+x)* e^xi
e^xi <= e^y^2 da xi element (x^2, y^2) [xi also < y^2] und e streng mototon wachsend

folglich
(y-x)(y+x)* e^xi < (y-x)(x+y) * e^y^2

die b)

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e^(1/x) - e^(1/y) <= (y-x) * e^(1/x) / x^2

f(t) = e^(1/t)
nach MWS ex ein xi element (x,y) mit
f(x) - f(y) = f'(xi) (y-x)
= - e^(1/xi) / xi^2 * (y - x)
- e^(1/xi) / xi^2 < e^(1/x)/x^2 da e(t) > 0 f.a. t > 0 [kann man natürlich auch anders begründen, aber das sollte reichen]

folglich
- e^(1/xi) / xi^2 * (y - x) < (y-x) * e^(1/x) / x^2

und die c)

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y log y - x log x <= (y-x)*(1+log y)

f(t) = t * log t

nach MWS ex ein xi element (x,y) mit

f(y) - f(x) = f'(xi) * (y - x)
= (log(xi) + 1) * (y - x)
log(xi) + 1 <= 1 + log(y) da xi element (x,y) [xi also < y] und log monoton wachsend

folglich
(log(xi) + 1) * (y - x) <= (y-x)*(1+log y)

Korrekturen und Verbesserungsvorschläge erwünscht

[mocha]

Hier meine Lösungsansätze


die b)

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e^(1/x) - e^(1/y) <= (y-x) * e^(1/x) / x^2

f(t) = e^(1/t)
nach MWS ex ein xi element (x,y) mit
f(x) - f(y) = f'(xi) (y-x)
= - e^(1/xi) / xi^2 * (y - x)
- e^(1/xi) / xi^2 < e^(1/x)/x^2 da e(t) > 0 f.a. t > 0 [kann man natürlich auch anders begründen, aber das sollte reichen]

folglich
- e^(1/xi) / xi^2 * (y - x) < (y-x) * e^(1/x) / x^2

ich zerbrech mir grad den kopf wegen der b)

es müsste doch heißen f(y) - f(x) = f'(xi)(y - x)
wir haben aber f(x) - f(y) = ...
also (-1)*(f(y) - f(x)) = f'(xi)(y - x)*(-1)
<=> f(x) - f(y) = f'(xi)(x - y)

ich hoff ich verpeil da nich irgendwas am MWS

den rest hab ich ähnlich

[Tankwart]

Also heben sich die beiden (-1) wieder auf.

[mocha]

ja genau

wenn das stimmt was ich da oben verzapft habe fällt die (-1) aus der ableitung weg
und man muss die abschätzung anders machen

[Tankwart]

e^1/x wird ja für höhere x kleiner, erst recht wenn der Nenner (x²)größer wird. Also lässt sich das dann ja leicht abschätzen.

[ryo]

so, wem es bis jetzt noch nicht klar ist: meine b) da oben ist schlichtweg falsch. Hier eine neue Variante, die stimmen sollte:

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e^(1/x) - e^(1/y) <= (y-x) * e^(1/x)/x^2
f(t) = - e(1/t)
nach MWS ex. ein Xi element (x,y) mit:
f(y) - f(x) = f'(xi) (y-x)
=e^(1/xi) / x^2 * (y-x)
e^(1/xi) kleiner als e^(1/x)/x^2, da e^(1/x) > e^(1/xi) und xi^2 > x^2

folglich
e^(1/xi) / xi^2 * (y - x) < (y-x) * e^(1/x) / x^2

Ich hoffe mal, dass noch niemand da falsche eingeworfen hat... sonst bitte ich um Entschuldigung