a)
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e^y^2 - e^x^2 <= (y-x)(x+y)*e^y^2
f(t) = e^t
nach MWS ex ein xi element (x,y) mit
f(y^2) - f(x^2) = f'(xi) (y^2 - x^2)
= (y-x)(y+x)* e^xi
e^xi <= e^y^2 da xi element (x^2, y^2) [xi also < y^2] und e streng mototon wachsend
folglich
(y-x)(y+x)* e^xi < (y-x)(x+y) * e^y^2
f(t) = e^t
nach MWS ex ein xi element (x,y) mit
f(y^2) - f(x^2) = f'(xi) (y^2 - x^2)
= (y-x)(y+x)* e^xi
e^xi <= e^y^2 da xi element (x^2, y^2) [xi also < y^2] und e streng mototon wachsend
folglich
(y-x)(y+x)* e^xi < (y-x)(x+y) * e^y^2
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e^(1/x) - e^(1/y) <= (y-x) * e^(1/x) / x^2
f(t) = e^(1/t)
nach MWS ex ein xi element (x,y) mit
f(x) - f(y) = f'(xi) (y-x)
= - e^(1/xi) / xi^2 * (y - x)
- e^(1/xi) / xi^2 < e^(1/x)/x^2 da e(t) > 0 f.a. t > 0 [kann man natürlich auch anders begründen, aber das sollte reichen]
folglich
- e^(1/xi) / xi^2 * (y - x) < (y-x) * e^(1/x) / x^2
f(t) = e^(1/t)
nach MWS ex ein xi element (x,y) mit
f(x) - f(y) = f'(xi) (y-x)
= - e^(1/xi) / xi^2 * (y - x)
- e^(1/xi) / xi^2 < e^(1/x)/x^2 da e(t) > 0 f.a. t > 0 [kann man natürlich auch anders begründen, aber das sollte reichen]
folglich
- e^(1/xi) / xi^2 * (y - x) < (y-x) * e^(1/x) / x^2
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y log y - x log x <= (y-x)*(1+log y)
f(t) = t * log t
nach MWS ex ein xi element (x,y) mit
f(y) - f(x) = f'(xi) * (y - x)
= (log(xi) + 1) * (y - x)
log(xi) + 1 <= 1 + log(y) da xi element (x,y) [xi also < y] und log monoton wachsend
folglich
(log(xi) + 1) * (y - x) <= (y-x)*(1+log y)
f(t) = t * log t
nach MWS ex ein xi element (x,y) mit
f(y) - f(x) = f'(xi) * (y - x)
= (log(xi) + 1) * (y - x)
log(xi) + 1 <= 1 + log(y) da xi element (x,y) [xi also < y] und log monoton wachsend
folglich
(log(xi) + 1) * (y - x) <= (y-x)*(1+log y)