Aufgabe 35 (K)

[ryo]

Hier mal die Lösungen:

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a) f'(x) = 1 / (x * log(x) )
b) f'(x) = -sin(x) * cos(1 + cos(x) )
c) f'(x) = 6 * (x^2 - 4)^2 * x für x >= 2, = -6 * (x^2 - 4)^2 * x für x < 2
d) f'(x) = x^(x^x) * [x^x * (log(x) + 1) * log(x) + x^x / x]
e) f'(x) = 2 * x * e^(x^5) + (x^2+1)*5*x^4*e^(x^5)
f) f'(x) = cos(x)^sin(x) * [cos(x) *log(cos(x)-sin(x)^2/cos(x)]

[Puschkin]

kann man bei der e nicht einfach das (e^x)^5 zu e^(5x) umschreiben?
dann ergibt sich nämlich eine einfacherere lösung, die sich mit deiner decken sollte (hab grad keine lust das zu überprüfen ):

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f'(x)=2x*e^(5x)+(x^2+1)*5e^(5x)

[ryo]

Mit dem Klammern aufpassen

bei a^b^c haben wir mal festgelegt, dass das äquivalent zu a^(b^c) ist, und eben nicht zu (a^b)^c

Dann kann man das so leider nicht machen, da dann a^b^c != a^(b*c)

[micha]

Hi leute,

bei der afg 35 steht folgendes in der aufgabenstellung:
bestimmen die jeweils alle e element D, in denen die fkt difbar ist,...

was macht ihr da??? bei mir sind alle funktionen differenzierbar. muss man das noch beweisen???

greez micha

[DFYX]

Ich möchte meine Hand jetzt nicht dafür ins Feuer legen, aber ich denke, dass die Funktion bei c beispielsweise an den Stellen und nicht differenzierbar ist. Dementsprechend denke ich auch, dass ryos Lösung da nicht ganz korrekt ist.

[ryo]

äm, ja, stimmt ja, das gibet es ja auch noch^^

Nur wie der Nachweis jetzt genau geht wüsste ich gern. Habe gerade mal kurz die Information überflogen, die Ulmann noch ins Ilias gestellt hat. Da geht der irgendwie so vor, dass er es mit Verkettungen von Funktionen begründet.
Und bei den kritischen Stellen (wie eben bei c) +-2 ) müsse man gesondert via Grenzwertformel die Funktion untersuchen.

Hat das schon jmd. gemacht?

[fake]

wie kommst du auf die d? komme da iwi nicht weiter, wie kommst du da auf das log?

[Puschkin]

fake: a^b= e^(log(a)*b)
wenn du das auf x^(x^x) anwendest, kannst du mit kettenregel und produktregel arbeiten.

[ryo]

falls dus trotz hinweis von Puschkin nicht hinbekommst:

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f(x) = x^(x^x) = e^(x^x * log(x) ) = e^(e^(x log(x)) * log(x) )

anm: mit einfacher produktregel bekommst du, dass x log(x) abgeleitet = log(x) + 1

jetzt splitten wir die innere ableitung in ihre einzelnen Produkte auf:

g(x) = e^(x log (x) ) abgeleitet ergibt mit kettenregel = e^(x log (x)) * (log(x) + 1) = x^x * (log (x) +1)

und h(x) = log(x) abgeleitet ist ja bekanntermaßen 1/x

g und h via produktregel ableiten (sry, bin gerade zu faul, wirklich jeden schritt hier auszuformulieren, aber du weißt ja, g' h+g h'):

x^x * ( log(x) + 1) * log(x) + x^x/x

zur entgültigen Ableitung von f(x) kommst du, in dem du die kettenregel benutzt. du hast jetzt hier die innere ableitung erzeugt. die äußere ist ja einfach e^blah abgeleitet, was ja wiederum e^blah entspricht. folglich sind wir dann angelangt bei

f'(x) = x^x^x * (x^x * (log(x) +1) * log(x) + x^x / x)

sodele, hoffe mal, dass jetzt alles klar ist

[fake]

jop jetzt ises klar danke