Aufgabe 33 (k)

[Thomas]

hm ja mein fehler e^nx is ja ungleich e^x * e^n. dann stimmt natürlich auch die abschätzung nicht

was mir sonst noch in den sinn gekommen ist, wäre logarithmiren, was log(x)/n*x ergeben würde, leider is log(x) für x = 0 nicht definiert. mit log(x)/x < 1 für alle x<0 könnte man theoretisch fn(x) =< 1/n beweisen, gilt aba leider nicht für x = 0. vllt kann man das ja extra zeigen?

[CubeZero]

man könnte auch x/e^nx umschreiben in x/e^x * 1/e^n

hm. Das Potenzgesetz kenn ich jetzt noch nicht...
Es ist b^x * b^y = b^(x+y).
Beispiel: 2^2 * 2^3 = 2*2 * 2*2*2 = 2^5 = zufällig 2^(2 + 3).
Dann ist e^x * e^n = e^(x+n). Also x/e^x * 1/e^n vermutlich x / e^(x + n). Wo is mein Denkfehler`?
Dann zur Folge x_n = -n. wogegen konvergiert das eigentlich? das ding denkt nichtmal im Traum dran überhaupt zu konvergieren.
Damit kann also kein x_0 gefunden werden, mit x_n -> x_0, woraus man dann überhaupt erst f(x_n) -> f(x_0) implizieren könnte.
Es sei denn ich hab grad nen bösen Denkfehler - dann klärt mich bitte bitte schnell auf!
Was ich bei der a) gemacht hab:
hab mir x_n := 1/n geschnappt. offensichtlich für n->/infinity geht x_n -> 0 := x_0
dann hab ich f_n(x_n) - f_n(x_0) Betrag genommen. ist 1 / n * e und das bekomm ich doch so klein wie ich will, ab bestimmtem n.
Oder steh ich im Wald?
Liebe Grüße CubeZero

[Hanno]

meine lösungen ohne gewähr auf richtigkeit^^:

a) konv. pktw. aba nicht glm.
b) so wie a)
c) konv. weder pktw. noch glm.
d) konv. pktw. aba nicht glm.

hat das jemand auch so zufällig?^^

Bei c) : Wieso konvergiert die Reihe garnicht? Für mich konvergiert sie zumindest punktweise

[Thomas]

hab mir meine c) nochma angeschaut und die is leider komplett falsch geworden, also stimmts nicht dass sie gar nicht konvergiert.

[ryo]

bei der c) hab ich, dass sie glm konv -> Weierstraß Krierium

|fkt-folge| <= c_k

als c_k hab ich die folge 1/n^2

d) pktw. mittels geometrische reihe (wie in übung) und dann ermittelt, dass f nicht stetig ist, was dann wieder wie im bsp der übung ist. fkt nicht stetig, reihe aber stetig, folglich keine glm konv

a) hab ich beides.

bei der b) bin ich noch unschlüssig. wenn ich das nämlich in meinem CAS plotte (und ich denk doch mal, dass ich das richtig eigegeben habe), dann komme ich dahin, dass für entsprechend große n die fkt beliebig nahe an f = 0 herankommt. ist das nicht die definition? es gibt zwar einen Punkt, der sich sehr langsam der 0 nähert, aber für entsprechend große n sieht es dann doch so aus...

wüsste aber net, wie ich des jetzt mathematisch begründen sollte, außer dass ich sagen kann, dass e ja sehr schnell wächst...

[Patric]

bei der c) hab ich, dass sie glm konv -> Weierstraß Krierium

|fkt-folge| <= c_k

als c_k hab ich die folge 1/n^2

d) pktw. mittels geometrische reihe (wie in übung) und dann ermittelt, dass f nicht stetig ist, was dann wieder wie im bsp der übung ist. fkt nicht stetig, reihe aber stetig, folglich keine glm konv

a) hab ich beides.

bei der b) bin ich noch unschlüssig. wenn ich das nämlich in meinem CAS plotte (und ich denk doch mal, dass ich das richtig eigegeben habe), dann komme ich dahin, dass für entsprechend große n die fkt beliebig nahe an f = 0 herankommt. ist das nicht die definition? es gibt zwar einen Punkt, der sich sehr langsam der 0 nähert, aber für entsprechend große n sieht es dann doch so aus...

wüsste aber net, wie ich des jetzt mathematisch begründen sollte, außer dass ich sagen kann, dass e ja sehr schnell wächst...

2 Fragen:

wie beweist du bei d das die Funktion nicht stetig ist ich hab mal folgende Funktion: sin(x)/x^4 + sin(x), oder hab ich da irgendwie nen fehler drinnen? bzw ich wüsst grad nich wie ich beweisen soll das die Funktion nicht stetig ist.
Und bei c kann man doch nich 1/n^2 nehmen da |1/(nx-n^2)| > 1/n^2 oder?

[riQ]

sin(x)/(4x) + sin(x) ist nicht für x=0 definiert (Division durch 0) => nicht stetig