Aufgabe 1

[Christian S.]

Hallo, ich sitze hier jetzt schon eine Weile und überlege, wie ich den Schnitt zweier Vektorräume berechne. Das Skript war in meinen Augen in dieser Hinsicht da leider auch nur wenig ergiebig :-/

[Patric]

muss ich dir irgendwie recht geben, wenn man so rum überlegt kommt man auch so auf einige ideen, ich probier mal bissle rum wenn ergebnis schön erscheint sag ich was ich gemacht hab^^

[Sagres]

Um den Schnitt zweier Vektorräume auszurechnen sucht man sich zunächst für beide VR eine Basis.
In diesem Fall hat man ja für U1 und U2 jeweils ein Erzeugendensystem mit drei Vektoren gegeben. Wenn die drei Vektoren linear unabhängig sind, dann sind sie eine Basis. In diesem Fall sind die drei Vektoren jeweils linear unabhängig, man kann also keinen der Vektoren als Linearkombination der anderen darstellen.

Die beiden VR U1 und U2 haben also beide Dimension 3. Deswegen kann der Schnitt auch höchstens Dimension 3 haben.
Um jetzt den Schnitt zu bekommen versucht man die Basisvektoren des einen VR als Linearkombination der Basisvektoren des anderen VR darzustellen. Mit je mehr Vektoren man das machen kann, desto größer wird die Dimension des Schnitts.

[Christian S.]

Um den Schnitt zweier Vektorräume auszurechnen sucht man sich zunächst für beide VR eine Basis.
In diesem Fall hat man ja für U1 und U2 jeweils ein Erzeugendensystem mit drei Vektoren gegeben. Wenn die drei Vektoren linear unabhängig sind, dann sind sie eine Basis. In diesem Fall sind die drei Vektoren jeweils linear unabhängig, man kann also keinen der Vektoren als Linearkombination der anderen darstellen.

Die beiden VR U1 und U2 haben also beide Dimension 3. Deswegen kann der Schnitt auch höchstens Dimension 3 haben.
Um jetzt den Schnitt zu bekommen versucht man die Basisvektoren des einen VR als Linearkombination der Basisvektoren des anderen VR darzustellen. Mit je mehr Vektoren man das machen kann, desto größer wird die Dimension des Schnitts.

So weit so klar. Aber wie bestimmt man jetzt den Schnitt ?

[CansaSCity]

also wenn ich das richtig sehe hast du dann
U1={v1,v2,v3} U2{w1,w2,w3}

der Schnitt beider Vektorräume ist dann: v1+v2+v3 = w1+w2+w3 <=> (v1-w1)+(v2-w2)+(v3-w3)=0
also kann man hiervon wieder die Basis bestimmen indem man zb. diese vektoren in eine Zeilenmatrix umwandelt und den Gauß drauf los lässt...

dann müsste man glaube ich die Basis des Vektorraumes des Schnittes von U1 und U2 haben....

[Christian S.]

Also subtrahiert man vom jeweils 1., 2., 3. Vektoren den entsprechenden Vektor aus der 2. Menge und macht dann ein LGS mit drei Variablen? Hatte denn heute jemand schon Tutorium und wäre so lieb die besprochenen Übungsaufgaben zu scannen /abzufotographieren ?

[CansaSCity]

Also ich habe mir jetzt nochmal die Zeit genommen es Nachzuschlagen und auszuprobieren... bzw erst ausprobiert, dann gemerkt es stimmt was nicht und dann nachgeschlagen...


also logischer Weise will man ja den Schnitt und sie nicht einfach gleich setzen, also sollte man nicht so doof sein wie ich und die faktoren vergessen:



so, also hierauf Gauß angewand bekommst du nun die vorfaktoren a,b,c,d,e,f (evt hängt eine von einer anderen ab, hier den Wert der variable beliebig aussuchen und die anderen ausrechnen ) heraus. Dass setzt du dann wieder oben in die Gleichung ein, rechnest alles Brav aus und bekommst dann eine eindimensionale Basis.


Hmm also nochmals Entschuldigung für den Mist den ich oben verzapft habe... kommt nicht wieder vor

[Christian S.]

Vielen Dank. Was für einen Grad hat deine Basis, die du rausbekommen hast? Muss nachher nochmal nachschauen, ich hatte in dem aufgelösten LGS nämlich immer noch zwei Variablen, von denen die Lösung abhängt.
Edit: Ich gehe mal davon aus, dass dein Ergebnis den Grad 1 hat, dann muss ich mich wohl verrechnet haben .

[Patric]

also bei mir wird die ganze Sache auch 2 dimensional, hatte zuerst auch was ein dimensionales raus bekommen, dass hat dann nur nicht mehr für aufgaben Teil b) gepasst... da der Schnitt nicht linear abhängig von der Summe der Basen war, was irgendwie keinen Sinn macht und dann wäre auch die Gleichung in b nicht lösbar. Aber man weiß nie vielleicht hab ich mich nochmal wo verechnet

[Thomas]

ich hätte mal ne ganz triviale frage und zwar das |F 5 3 bedeutet doch so viel wie dass es sich um nen endlichen Restklassenkörper des Restklassen Rings Z/3 mit 3^5 elementen handelt oda? stimmt das so oder was heißt das genau^^ iwie hab ich skript auch nix gefunden, was mir da großartig geholfen hätte, ausser diese definition mit p^k elementen usw.
oder heißts dass es sich um nen endlichen Körper der Restklasse Z/3Z mit 5 elementen handelt, so wie die vektoren auch aus 5 elementen bestehen