Hallo!
Hat irgendjemand ne Idee wie man an Aufg. 1 rangehen sollte?
Is schon klar, dass linear unabhängig is, aber wie kann ich das allgemein beweisen?
Gruß
Aufgabe 1
Re: Aufgabe 1
Naja, ich weiss jetzt nicht genau was ihr für Verknüpfungen auf dem Vektorraum der Abbildungen habt, aber ich gehe mal von Addition und Skalarmultiplikation aus. Ein skalarer Wert ist hier eine reelle Zahl. Damit kann man Vektoren strecken.
Ich hätte bei der Aufgabe zwei Herangehensweisen.
1) Nimm dir eine Funktion aus dem Vektorraum und zeige, daß sie nicht als Linearkombination anderer Funktionen aus der gegebenen Menge darstellbar ist.
2) Nimm dir eine beliebige (nichttriviale) Linearkombination von Elementen aus der Menge und zeige, daß diese nicht in der Menge liegt. Man muss natürlich zeigen, daß das für alle Linearkombinationen gilt.
Für beide Ansätze dürfte der Lösungsweg gleich sein...
Zur Lösung würde ich dann die Nullstellen der Funktionen betrachten. Für jedes a ist die Menge der Nullstellen ( = {x€R|x>=a}) "einzigartig". Es sind also immer alle Stellen Rechts von a Null und alle anderen Stellen sind irgendwas größer Null (bei a selbst ist die Funktion auch Null).
Jetzt versuch mal zu einem gegebenen f_a mal eine Linearkombination aus anderen Elementen der Menge zu bilden. Dürfte ziemlich schwer (/unmöglich) werden, die Nullstellen wieder genau so hinzukriegen wie vorher.
Ich hätte bei der Aufgabe zwei Herangehensweisen.
1) Nimm dir eine Funktion aus dem Vektorraum und zeige, daß sie nicht als Linearkombination anderer Funktionen aus der gegebenen Menge darstellbar ist.
2) Nimm dir eine beliebige (nichttriviale) Linearkombination von Elementen aus der Menge und zeige, daß diese nicht in der Menge liegt. Man muss natürlich zeigen, daß das für alle Linearkombinationen gilt.
Für beide Ansätze dürfte der Lösungsweg gleich sein...
Zur Lösung würde ich dann die Nullstellen der Funktionen betrachten. Für jedes a ist die Menge der Nullstellen ( = {x€R|x>=a}) "einzigartig". Es sind also immer alle Stellen Rechts von a Null und alle anderen Stellen sind irgendwas größer Null (bei a selbst ist die Funktion auch Null).
Jetzt versuch mal zu einem gegebenen f_a mal eine Linearkombination aus anderen Elementen der Menge zu bilden. Dürfte ziemlich schwer (/unmöglich) werden, die Nullstellen wieder genau so hinzukriegen wie vorher.