1. Übungsblatt - Abgabe 31. Oktober

DFYX · Beitrag von **DFYX** » Fr 31. Okt 2008, 00:11

Die Wikipediadefinitionen hab ich mir auch angeschaut, aber ich finde da nur Definitionen für die die Negation besagt, dass es ein y aus Y gibt, für das es mehrere x aus X gibt für die gilt f(x) = y, aber keine, bei denen die Negation besagt, dass es gar kein x gibt.

Michael · Beitrag von **Michael** » Fr 31. Okt 2008, 00:14

Das Gleichheitszeichen bei der "positiven" (richtigen) Definition wird zu einem Ungleichheitszeichen bei der Negation.

Beitrag von **|silent** » Fr 31. Okt 2008, 00:38

Sooo, nach langer Überlegung poste ich nun meine Lösung, haut mich bitte nicht, das sind meine ersten Beweise! (keine Garantie für Richtigkeit):

1.3
$f: M \rightarrow M$ , setzen $f: A \rightarrow B$ , $a \in A$ , $b \in B$
1) Def. für Surjektivität: $\forall b \in B \ \exists a \in A: \ f(a)=b$
2) Def. für Injektivität: $\forall a_1,a_2 \in A: (f(a_1) = f(a_2)$

aus 1) $\cap$ 2) $\Rightarrow$ Bijektivität

Annahme:
Jede surjektive Abbildung $f: M \Rightarrow M$ einer endlichen Menge M auf sich selbst ist auch injektiv.

$A := M, B := M, a \in A, b \in B$

Beweis:
$f(A) = B, \forall b \in B \exists a \in A: f(a) = b \Rightarrow$ surjektiv

$\forall a_1,a_2 \in A: a_1 \not= a_2 \Rightarrow f(a_1) \not= f(a_2) \Rightarrow$ injektiv
$\Rightarrow \forall b \in B \exists a \in A: f(a) = b \ \cap \ \forall a_1,a_2 \in A: a_1 \not= a_2 \Rightarrow f(a_1) \not= f(a_2)$

Dann:
$\Rightarrow$ Die Abbildung $f: M \rightarrow M$ ist bijektiv.

$\cap$ * = das soll ein logisches UND darstellen, sorry der Befehl funzt leider nicht.

Beitrag von **Kubik-Rubik** » Fr 31. Okt 2008, 09:14

@ |silent:

Danke für die Mühe!

DFYX · Beitrag von **DFYX** » Fr 31. Okt 2008, 09:44

|silent hat geschrieben: $\Rightarrow \forall b \in B \exists a \in A: f(a) = b \ \cap \ \forall a_1,a_2 \in A: a_1 \not= a_2 \Rightarrow f(a_1) \not= f(a_2)$

Was falsch ist. das $\forall$ und das $\exists$ müssten vertauscht werden.

GoukipK · Beitrag von **GoukipK** » Mo 3. Nov 2008, 19:09

Hier die offiziellen Lösungen zum Übungsblatt Nr. 1:
PDF Datei . . .

Interessante Lektüre.

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