4. Übungsblatt - Abgabe 17. November

[Christian S.]

Das ist ja grad mein Problem.. um welche verknüpfung geht es denn? Wie ist dieses * definiert?

G1 = Z/4Z

ist ja nur eine menge.. genauso wie

G2 = Z/2Z x Z/2Z

oder? Dazu muss noch eine Verknüpfung kommen und verschiedene Kriterien erfüllt sein..

Ich komme bei der 4 auch nicht weiter. es gibt letztlich ja 4 allgemeine Verknüpfungstafeln für 4-elementige Gruppen. - aber wie stelle ich einen Zusammenhang zw. denen und den beiden Mengen her bzw. wie schließe ich alle anderen möglichen Verknüpfungen neben + auf Z/4Z bzw. Z/2Z x Z/2Z aus?

[jcdmb]

Da ihr schon bei der vierten Aufgabe seid, habt ihr schon 2.b oder 3 gelöst? Ich habe die Aufgabe 3 verstanden, aber ich kann nicht 3.a formal zeigen, und bei 3.b wie kann man diese verknüpfungstafel aufstellen?

[pedobear]

mh also zur vierten is halt mmn so, das es insgesamt nur 2 allgemeine verknüpfungstafeln gibt. denk ma wir sollen das einfach zeigen und dann G1 und G2 iwi da rein haun. alle weiteren gruppen sind dann praktisch das selbe, nur halt mit anders genannten elementen

so das es nur 2 tafeln gibt zeigt man iwi so:
alles nat allgemein gehalten, also wir haben nur ne verknüpfung * , pups ob das später ma nen + oder - oder wat immer is
x * e = x muss immer sein, also kann man die 4 * 4 tabelle zu ner 3 * 3 tabelle ummodeln, weil spalte 1 ja "e a b c" und zeile 1 auch "e a b c"
so jetz ham wir noch unten das kleine quadrat abc * abc
laut vor jedes element pro zeile pro spalte einmal, außerdem muss es zu jedem element ein inverses geben, so das x * y = e is
heißt in jede der 3 zeilen haun wir jetz nen e rein, da gibts 3 möglichkeiten:
jedes element is zu sich selbst invers, also kommt bei a*a nen e, bei b*b un c*c eins rein. dann hat man noch 6 felder frei und diese 6 felder sind (wieder unter der vor jedes element pro zeile/spalte einmal) fest vorgegeben, es gibt immer irgendwo ne zelle (q,r) wo ein e in der zeile q oder spalte r, ein x an der stelle (q,1) und ein y an (1,r) steht. also schreiben wir das letzte z in die zelle (scheisse da auf zu schreiben, aber was muss das muss !)
so damit hammer die erste tabelle
zweite tabelle is halt wir sagen wir teilen die inversen so auf, das einmal a*a = e is und sonst b*c = e und c*b = e
3 mal e reinschreiben, 6 felder vorgegeben, lassen sich wieder eindeutig füllen -> zweite tabelle da
so un dritte möglichkeit is nu natürlich eigentlich, das a*b = b*c = c*a = e ist. e alle reinschreiben, wieder 6 felder frei
un jetz versuchen wir die zu füllen... zack bumm gibt nen widerspruch, man kann es net nach VOR füllen.
so jetz wissen wir schonmal es gibt nur 2 4elementige Gruppentafeln. welche 4elemtigen Mengen das sind, welche verknüpfung wir nehmen usw is scheissegal, wenn es eine gruppe ist passt sie in eine der 2 Tafeln.
mhjo un das geht anscheind mit g1 und g2 dann genau !
meine 12 dollarz un so !

[Christian S.]

mh also zur vierten is halt mmn so, das es insgesamt nur 2 allgemeine verknüpfungstafeln gibt. denk ma wir sollen das einfach zeigen und dann G1 und G2 iwi da rein haun. alle weiteren gruppen sind dann praktisch das selbe, nur halt mit anders genannten elementen

so das es nur 2 tafeln gibt zeigt man iwi so:
alles nat allgemein gehalten, also wir haben nur ne verknüpfung * , pups ob das später ma nen + oder - oder wat immer is
x * e = x muss immer sein, also kann man die 4 * 4 tabelle zu ner 3 * 3 tabelle ummodeln, weil spalte 1 ja "e a b c" und zeile 1 auch "e a b c"
so jetz ham wir noch unten das kleine quadrat abc * abc
laut vor jedes element pro zeile pro spalte einmal, außerdem muss es zu jedem element ein inverses geben, so das x * y = e is
heißt in jede der 3 zeilen haun wir jetz nen e rein, da gibts 3 möglichkeiten:
jedes element is zu sich selbst invers, also kommt bei a*a nen e, bei b*b un c*c eins rein. dann hat man noch 6 felder frei und diese 6 felder sind (wieder unter der vor jedes element pro zeile/spalte einmal) fest vorgegeben, es gibt immer irgendwo ne zelle (q,r) wo ein e in der zeile q oder spalte r, ein x an der stelle (q,1) und ein y an (1,r) steht. also schreiben wir das letzte z in die zelle (scheisse da auf zu schreiben, aber was muss das muss !)
so damit hammer die erste tabelle
zweite tabelle is halt wir sagen wir teilen die inversen so auf, das einmal a*a = e is und sonst b*c = e und c*b = e
3 mal e reinschreiben, 6 felder vorgegeben, lassen sich wieder eindeutig füllen -> zweite tabelle da
so un dritte möglichkeit is nu natürlich eigentlich, das a*b = b*c = c*a = e ist. e alle reinschreiben, wieder 6 felder frei
un jetz versuchen wir die zu füllen... zack bumm gibt nen widerspruch, man kann es net nach VOR füllen.
so jetz wissen wir schonmal es gibt nur 2 4elementige Gruppentafeln. welche 4elemtigen Mengen das sind, welche verknüpfung wir nehmen usw is scheissegal, wenn es eine gruppe ist passt sie in eine der 2 Tafeln.
mhjo un das geht anscheind mit g1 und g2 dann genau !
meine 12 dollarz un so !

Danke, habe ich jetzt auch so ähnlich, bloß dass ich halt gezeigt habe, dass ich drei dieser vier Tafeln mit je einem selbstinversen Element a/b/c habe und eine Tafel mit vier selbstinversen Elementen. da ~2 ein selbstinverses Element ist, habe ich das jeweils a oder b oder c zugeordnet und die restlichen Spalten /Zeilen ausgefüllt. Tada, das Schema entspricht drei von vier möglichen Tafel. In der vierten Verknüpfungstafel ist ja jedes Element zu sich selbst invers. Dies entspricht Z/2Z x Z/2Z.

[Thomas]

Da ihr schon bei der vierten Aufgabe seid, habt ihr schon 2.b oder 3 gelöst? Ich habe die Aufgabe 3 verstanden, aber ich kann nicht 3.a formal zeigen, und bei 3.b wie kann man diese verknüpfungstafel aufstellen?

sicher dass man das formal machen muss? sind ja die zahlen angegeben von daher müsste man dass doch mit den zahlen machen dürfen

[Christian S.]

Da ihr schon bei der vierten Aufgabe seid, habt ihr schon 2.b oder 3 gelöst? Ich habe die Aufgabe 3 verstanden, aber ich kann nicht 3.a formal zeigen, und bei 3.b wie kann man diese verknüpfungstafel aufstellen?

sicher dass man das formal machen muss? sind ja die zahlen angegeben von daher müsste man dass doch mit den zahlen machen dürfen

Meine Meinung. Und so lange das niemand durch eine gut begründete Lösung ändert bleibe ich bei dieser Meinung .

[micha]

Hi,

also bei mir gehen irgend wie 4 v.tafeln:
laut bedobear soll es nur 3 möglichkeiten heben, die abc tafel mit 3 e's aufzufüllen. ich finde mehrere:
e
xe
xxe

xxe
xe
e

e
xxe
xe

xe
e
xxe

xe
xxe
e

xxe
e
xe


nun kann man natürlich einige kombinationen ausschliessen, da ein element in einer zeile / spalte nur ein mal vorkommen darf. bei mir bleiben aber trotzdem 4 möglichkeiten übrig:

e
xe
xxe
:
ebac
aecb
bcea
cbae

xxe
xe
e
:
eabc
abce
bcea
ceab

xe
e
xxe
:
eabc
aceb
beca
cbae

e
xxe
xe
:
eabc
aecb
bcae
cbea


warum fällt bei dir die kombination 3 und 4 weg???

mfg

[Thomas]

es gibt für die inversität eigentlich 3 fälle und zwar erstens jedes element ist zu sich selbst invers aso a*a^-1 = e z.b. 2. fall wäre dass jeweils 2 elemente gegenseitig invers sind also a*b= e und b*a=e und das 3. zu sich selbst c*c=e . und für c könntest du dann auch a oder b nehmen, was aber das gleiche ist, da du sie ja quasi nur "umbenannt" hast wies in der aufgabe heißt. der 3. fall wäre dann schließlich dass a*b = e b*c = e c*a = e als alle gegenseitig invers sind. und für diesen 3. fall kann man die tabelle nicht lösen.

[Christian S.]

Es bleiben 4 übrig, zur Zuordnung siehe mein Post.

[pedobear]

nix 4 nix 5 nix 6 alles quark
es gibt 3:
e x x
x e x
x x e

e x x
x x e
x e x

und

x e x
x x e
e x x
was aber entfällt

wenn du irgend eine andere nimmst kannst du halt die elemente nehmen, um benennen und kommst wieder auf ne variante die du schon hast
beispiel

xxe
e
xe

xe
xxe
e

das sind die selben gruppen, halt die wo du sagst das kein element selbstinvers is. du nennst nur die elemente um
erste tafel wäre:
e a b c
a x x e
b e x x
c x e x
die zweite:
e b a c
b x x e
a e x x
c x e x

is genau das selbe nur mit umgennanten elementen
genau so wenn du eins selbstinvers nimmst un die andern beiden tauschst.
ergo 3 möglichkeiten, eine davon geht net auf (keins selbstinvers) => es gibt 2 4elementige gruppen
thomas 4tw

xe
e
xxe


xxe
xe
e

e
xxe
xe
sind somit alles die selben, die wo eins selbstinvers is