4. Übungsblatt - Abgabe 20. November

Beitrag von **Thomas** » Mi 19. Nov 2008, 01:21

Chris hat geschrieben:und hier noch die 16 a)

für n gerade:
$n = 2k$
$a_{2k}= \left(\frac{2k + (-1)^{2k-1}}{2k} \right)^{2k}$
$a_{2k}= \left(\frac{2k-1}{2k} \right)^{2k}$
$a_{2k}= \left(\frac{2k}{2k-1} \right)^{-2k}$
$a_{2k}= \left(\left(\frac{2k}{2k-1} \right)^{2k} \right)^{-1}$
$a_{2k}= \left(\left(\frac{2k}{2k-1} \right)^{2k-1} * \left(\frac{2k}{2k-1} \right)\right)^{-1}$

Für $k \rightarrow \infty$

der 1. Ausdruck:
gegen $e$

der 2. Ausdruck:
gegen $e^{-1}$

Am Ende noch ordentlich hinschreiben mit limsup und liminf und ferdisch

danach für n ungerade:
$n= 2k-1$
$a_{2k-1} = \left(\frac{2k-1 + (-1)^{2k-2}}{2k-1} \right)^{2k-1}$
$a_{2k-1} = \left(\frac{2k}{2k-1} \right)^{2k-1}$

geht das ganze wie bei n gerade gegen $e$

$\frac{2k}{2k-1}$ geht aba nicht gegen $e^{-1}$ , sondern gegen 1 oder?

oleg · Beitrag von **oleg** » Mi 19. Nov 2008, 01:26

Könnte bei der 14 b) die Bernoulli-Ungleichung helfen?

Beitrag von **Thomas** » Mi 19. Nov 2008, 02:09

hat eigentlich jemand schon die 16c) gemacht? reichts da wenn man zeigt dass q^n gegen 0 geht? damit wäre ja |an+1 - an| kleiner als epsilon. reicht das für ne cauchy folge? oder muss ich au noch zeigen dass die folge beschränkt is doer sowas?

localhorst · Beitrag von **localhorst** » Mi 19. Nov 2008, 10:10

Oh ich war gestern anscheinend ein wenig verpeilt.. Hier mein neuer Ansatz für die b), bin aber rel unsicher.

Vorbemerkung:
$2>\sqrt[n]{n}> 1$

somit:
$\frac{1}{\sqrt[n]{n} - 2} < 0$
Außerdem:
$n - 1 > 0$

(ffa n € N)

$a_{n}=(\sqrt[n]{n}-1)^{n}$
$=(\sqrt[n]{n}-1)^{n-1}(\sqrt[n]{n}-1)$
$=(1+\frac{1}{\frac{1}{\sqrt[n]{n}-2}})^{n-1}(\sqrt[n]{n}-1)$
$<(1+\frac{1}{n-1})^{n-1}(\sqrt[n]{n}-1)$
$\rightarrow e * 0 = 0$

cecilb · Beitrag von **cecilb** » Mi 19. Nov 2008, 11:10

2Pedobear

Zu Aufg 14 a)...

Ich versteh net so ganz wie du von
$\sqrt{n^2+n}-\sqrt{n^2+1}$
auf
$\frac{n^2+n-n^2-1}{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2+1}}$
kommst

Mumin · Beitrag von **Mumin** » Mi 19. Nov 2008, 11:15

Die 14b) hab ich ähnlich wie die a) gemacht, also innerhalb der Klammer mit $\frac{\sqrt[n]{n}+1}{\sqrt[n]{n}+1}$ multipliziert.
am Ende kam dann halt $(\frac{0}{2})^2$ raus, für n gegen unendlich.
Hoffe mal das geht so und dass es erlaubt ist ^^

Was ich zur c) geschrieben hab war wohl komplett in die falsche Richtung gedacht oder ich sehe den Fehler nicht, bin das nochmal auf
andere Betrachtungsweise durchgegangen und hab mir mal angeschaut gegen welchen Wert es konvergiert.

ryo · Beitrag von **ryo** » Mi 19. Nov 2008, 11:20

cecilb hat geschrieben:2Pedobear

Zu Aufg 14 a)...

Ich versteh net so ganz wie du von
$\sqrt{n^2+n}-\sqrt{n^2+1}$
auf
$\frac{n^2+n-n^2-1}{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2+1}}$
kommst

er erweitert einfach mit
$\frac{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2+1}}{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2+1}}$

(hoffe mal, dass das mit latex hingehauen hat)

im Zähler ist dann 3. Binom. Formel, wodurch sein Ergebnis rauskommt

Mumin · Beitrag von **Mumin** » Mi 19. Nov 2008, 12:38

Thomas hat geschrieben:
Chris hat geschrieben:und hier noch die 16 a)

für n gerade:
$n = 2k$
$a_{2k}= \left(\frac{2k + (-1)^{2k-1}}{2k} \right)^{2k}$
$a_{2k}= \left(\frac{2k-1}{2k} \right)^{2k}$
$a_{2k}= \left(\frac{2k}{2k-1} \right)^{-2k}$
$a_{2k}= \left(\left(\frac{2k}{2k-1} \right)^{2k} \right)^{-1}$
$a_{2k}= \left(\left(\frac{2k}{2k-1} \right)^{2k-1} * \left(\frac{2k}{2k-1} \right)\right)^{-1}$

Für $k \rightarrow \infty$

der 1. Ausdruck:
gegen $e$

der 2. Ausdruck:
gegen $e^{-1}$

Am Ende noch ordentlich hinschreiben mit limsup und liminf und ferdisch

danach für n ungerade:
$n= 2k-1$
$a_{2k-1} = \left(\frac{2k-1 + (-1)^{2k-2}}{2k-1} \right)^{2k-1}$
$a_{2k-1} = \left(\frac{2k}{2k-1} \right)^{2k-1}$

geht das ganze wie bei n gerade gegen $e$
$\frac{2k}{2k-1}$ geht aba nicht gegen $e^{-1}$ , sondern gegen 1 oder?

Genau, $\frac{2k}{2k-1}$ geht gegen 1, deswegen geht $a_{n}$ für gerade n allgemein gegen $e^{-1}$

Chris · Beitrag von **Chris** » Mi 19. Nov 2008, 13:03

genau

Jack08 · Beitrag von **Jack08** » Mi 19. Nov 2008, 14:27

Also die Lösung von der 16a versteh ich mal gar nicht!

am Ende steht doch für k -> unendlich, dass a2k gegen 1 geht oder? Damit wäre doch 1 ein Häufungswert.... ?!

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