4. Übungsblatt - Abgabe 20. November

pedobear · Beitrag von **pedobear** » Di 18. Nov 2008, 01:24

mh yo das mit nten wurzel n is schon klar aber so einfach einzubauen is das halt net mit diesem doofen hoch n zum schluss
also wenn du meinst $\sqrt[n]{n}$ geht gegen 1 und 1 gegen 1, von einander abgezogen is 0 un daher geht die Folge gegen 0; dann funktioniert das so nich... steh aber iwi aufm schlauch wie mans sonst machen soll >.< abschätzungen für ne größere 0 folge find ich keine, monotonie bekomm ich net hin, die scheiss binomialgleichung dazu is alternierend un blablabla...
ansatz !

Christian S. · Beitrag von **Christian S.** » Di 18. Nov 2008, 10:42

pedobear hat geschrieben:mh yo das mit nten wurzel n is schon klar aber so einfach einzubauen is das halt net mit diesem doofen hoch n zum schluss
also wenn du meinst $\sqrt[n]{n}$ geht gegen 1 und 1 gegen 1, von einander abgezogen is 0 un daher geht die Folge gegen 0; dann funktioniert das so nich... steh aber iwi aufm schlauch wie mans sonst machen soll >.< abschätzungen für ne größere 0 folge find ich keine, monotonie bekomm ich net hin, die scheiss binomialgleichung dazu is alternierend un blablabla...
ansatz !

Schau mal im HM-Mitschrieb unter 2.7 nach. Du musst zeigen, dass $\sqrt[n]{n}-1$ größer gleich 0 und kleiner als 1 ist. somit geht die Folge ja auch gegen 0. Denn (1/x)^k geht immer gegen 0 wenn x eine natürliche Zahl ist.

pedobear · Beitrag von **pedobear** » Di 18. Nov 2008, 10:59

ja genau da ^k geht es gegen 0 wenn betrag eines FESTEN x kleiner 1 is
man kann ja auch sagen x^k geht gegen 1 wenn x=1 is
so nehmen wir mal 1+1/n
1/n geht gegen 0, 1 geht gegen 1, also geht 1+1/n gegen 1
also geht (1+1/n)^n gegen 1 weil x = 1 und damit x^n gegen 1 geht
tjo aber (1+1/n)^n geht nich gegen 1, sondern gegen e. und der beweis dafür war nich einfach die innere Folge ausrechnen, sondern der war saulang !
und genau so is das hier auch, es gibt halt keine regel für (a_n)^n; nur für x^n ! also darfste nich einfach drin ausrechnen un das als x nehmen sondern es muss anders gehen.

Christian S. · Beitrag von **Christian S.** » Di 18. Nov 2008, 11:09

pedobear hat geschrieben:ja genau da ^k geht es gegen 0 wenn betrag eines FESTEN x kleiner 1 is
man kann ja auch sagen x^k geht gegen 1 wenn x=1 is
so nehmen wir mal 1+1/n
1/n geht gegen 0, 1 geht gegen 1, also geht 1+1/n gegen 1
also geht (1+1/n)^n gegen 1 weil x = 1 und damit x^n gegen 1 geht
tjo aber (1+1/n)^n geht nich gegen 1, sondern gegen e. und der beweis dafür war nich einfach die innere Folge ausrechnen, sondern der war saulang !
und genau so is das hier auch, es gibt halt keine regel für (a_n)^n; nur für x^n ! also darfste nich einfach drin ausrechnen un das als x nehmen sondern es muss anders gehen.

Doch, darfst du. Denn egal welchen 0 =< Wert <1 du nimmst, er geht hoch irgendwas immer gegen 0. Bei (1+1/n) ist dies nicht der Fall, denn 1+1/n ist >1. Schau einfach mal im Skript bei 2.7 vom 4.11. nach, da haben wir für genau diesen Folgenteil gezeigt, dass er =< sqrt(2) / sqrt(n-1) ist. Und das ist kleiner 1 für n >= 4. Somit hast du 0 =< b(n) < 1.
=> b(n)^n ----> 0 für n -> unendlich.

horst · Beitrag von **horst** » Di 18. Nov 2008, 12:00

a) da bin ich auch dahin gekommen...
(n-1)/sqrt(n^2 + n) + sqrt(n^2 + 1)
so im Nenner kann man dann das n ausklammern weil
sqrt(n^2 + n) = (n^2 + n)^1/2 = ((n^2)^1/2) * (1 + 1/n) //Potenzgesetze (a*b)^r = a^r * b^r
berichtigt mich wenn das falsch ist...
also komm ich auch auf 1/2
b) hab ich genauso
c) hab ich -1/3 kann das richtig sein???
d) da kann man das 1/(8^n) in die klammer rein ziehen...

BenTreeser · Beitrag von **BenTreeser** » Di 18. Nov 2008, 12:58

Ich poste mal die 14.c Falls etwas nicht stimmen sollte melden

$a_n=\frac{2^n-3^n}{2n+3^n} \\ \Leftrightarrow \frac{2^n}{2n+3^n}-\frac{3^n}{2n+3^n} \\ \Leftrightarrow \frac{2^n}{2n+3^n}-\frac{3^n}{2n+3^n}+\frac{2n}{2n+3^n}-\frac{2n}{2n+3^n} \\ \Leftrightarrow \frac{2^n}{2n+3^n}-\frac{3^n+2n}{2n+3^n}-\frac{2n}{2n+3^n} \\ \Leftrightarrow \frac{2^n}{2n+3^n}-1-\frac{2n}{2n+3^n} \\ \\ 2^n<3^n \\ 2n<3^n \\ \\ \rightarrow 0-1-0 \\ a_n \rightarrow -1$

sorry irgendwie komme ich nicht ganz mit latex klar ^^

Hat jemand eine Idee für d?

Rob · Beitrag von **Rob** » Di 18. Nov 2008, 14:06

localhorst hat geschrieben:Die a) geht relativ softe mit dem binomischen Formeltrick (a+b)*(a-b)=a²-b².. sodass dann das da steht:

((n²+n)-(n²-1))/((sqrt(n²+n)+sqrt(n²+1))

Da dann wie gewohnt n ausklammern etc..

edit
dam ich sollte mich mal mit latex beschäftigen..

Soll das nicht heißen ((n²+n)-(n²+1))/((sqrt(n²+n)+sqrt(n²+1))?

Ich habe das ganze ausmultipliziert, aber komme irgendwie doch nicht weiter. Wo soll ich denn noch n ausklammern? Ich sehe einfach nicht ein wie man auf ½ kommen kann...

Soweit bin ich jetzt:

$\frac{n}{\sqrt{n^{2}+n}+\sqrt{n^{2}+1}}-\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}+\sqrt{n^{2}+1}}$

Beitrag von **Thomas** » Di 18. Nov 2008, 14:20

schau einfach ne seite vorne dran

aba ums noch ma zu sagen, du musst n aus der wurzel rausholen und des dann mit dem n im zähler kürzen. dafür musst du in der wurzel einfach n² ausklammern.

horst · Beitrag von **horst** » Di 18. Nov 2008, 14:57

a mal ganz ausführlich

Thomas hat geschrieben:schau einfach ne seite vorne dran aba ums noch ma zu sagen, du musst n aus der wurzel rausholen und des dann mit dem n im zähler kürzen. dafür musst du in der wurzel einfach n² ausklammern.

$\frac{n-1}{\sqrt{n^{2}+n}+\sqrt{n^{2}+1}}$
Anmerkung:
$\sqrt{n^{2}+1} = \sqrt{n^2}*\sqrt{1+1/n^2}$
$\sqrt{n^{2}+n} = \sqrt{n^2}*\sqrt{1+1/n}$
$\sqrt{n^2}=n$
also
$\frac{n-1}{\sqrt{n^{2}+n}+\sqrt{n^{2}+1}} = \frac{1-1/n}{\sqrt{1+1/n}+\sqrt{1+1/n^2}}$
$\sqrt{1+1/n}+\sqrt{1+1/n^2} \geq 2$
$1/n \geq 0$
das ergbibt
$\frac{1-0}{2}$
besser bekannt als 1/2

horst · Beitrag von **horst** » Di 18. Nov 2008, 15:24

BenTreeser hat geschrieben:Ich poste mal die 14.c Falls etwas nicht stimmen sollte melden
$a_n=\frac{2^n-3^n}{2n+3^n} \\ \Leftrightarrow \frac{2^n}{2n+3^n}-\frac{3^n}{2n+3^n} \\ \Leftrightarrow \frac{2^n}{2n+3^n}-\frac{3^n}{2n+3^n}+\frac{2n}{2n+3^n}-\frac{2n}{2n+3^n} \\ \Leftrightarrow \frac{2^n}{2n+3^n}-\frac{3^n+2n}{2n+3^n}-\frac{2n}{2n+3^n} \\ \Leftrightarrow \frac{2^n}{2n+3^n}-1-\frac{2n}{2n+3^n} \\ \\ 2^n<3^n \\ 2n<3^n \\ \\ \rightarrow 0-1-0 \\ a_n \rightarrow -1$

sorry irgendwie komme ich nicht ganz mit latex klar ^^

Hat jemand eine Idee für d?

also äh ne hab ich ganz anders gemacht...
$\frac{2^n}{2n+3^n}-\frac{3^n}{2n+3^n}=\frac{1}{2n/2^n +3^n/2^n}-\frac{1}{2n/3^n +3^n/3^n}$
Anmerkung
$3^n/2^n=(3/2)^n$
$3^n/3^n=1$
$2n/2^n \geq 0$
$2n/3^n \geq 0$
also
$\frac{2^n}{2n+3^n}-\frac{3^n}{2n+3^n}=\frac{1}{2n/2^n +3^n/2^n}-\frac{1}{2n/3^n +3^n/3^n}\geq \frac{1}{(3/2)^n}-1 \geq -1$

Ich bin mir eigentlich ziemlich sicher, aber wenn da n fehler drin ist wär ich für feedback echt dankbar
aber im grunde kommt ja das selbe raus

und nun zu (d)
also man kann den term in der klammer umformen in
$(2+1/n)^3$
also steht jetzt da
$1/8^n * ((2+1/n)^3)^n$
was das gleiche ist wie
$(\frac{(2+1/n)^3}{8})^n$
ausserdem gilt ja
$8=2^3$
also
$(\frac{(2+1/n)^3}{8})^n = (\frac{(2+1/n)^3}{2^3})^n = ((\frac{(2+1/n)}{2})^3)^n = ((1+1/2n)^{3n}=(1+1/2n)^{2n})^{3/2}$
das geht für n gegen uendlich gg e^3/2

mfg
achso fehler melden!!!

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