Nachweise bezüglich der Groß-O-Notation (Ü.13 a).

[fredpape]

Hallo

Ich muss sagen, ich komme mit Der Übungsaufgabe Ü.13 a) irgendwie nicht so ganz klar:
Zeigen Sie, dass .

Irgendwie erscheint es mir sehr mühsam, das anständig zu zeigen.
Ich meine, man könnte ja auch einfach schreiben:

Das kann man zwar ohne guten TR/GTR schlecht nachrechnen, aber es sollte ja stimmen.

Der Beweis aus der Lösung erscheint mir irgendwie mühsam und strukturlos, so dass "auf einmal", praktisch "aus dem nichts heraus", die Ungleichung bewiesen ist. Klar kann man das irgendwie nachvollziehen, aber naja...

Gibt es für "anständige", d.h. sichere Beweise die ohne unnötig hoche Zahlen auskommen eine Art Leitfaden, Vorgehensweise die zu empfehlen ist?
Wie würdet ihr das oben beweisen? Gibts einen schönen Trick, der immer klappt und schön einfach ist?

[Cauchy]

Also ich habs einfach so gemacht, dass Quotienten gebildet habe. Und dann nach HM I den Grenzwert ermittelt habe.

Lag dieser bei , wenn der Grenzwert kleiner als 1 ist, dann "steigt" der Zähler nicht so schnell wieder Nenner. Demnach liegt es drinn.
Ist zwar jetzt nicht sonderlich formal, aber in der Klausur macht man ja vieles anderes.

Dann kann man aber leider auch kein angeben, ab wann das c gilt.

Ausführlich wäre, das dann einfach eine Grenzwertbestimmung.

[Romeo]

Guten Abend,

Du bist ja sicherlich felsenfest davon überzeugt, dass dich der Aufgabensteller nicht übers Ohr hauen will.

Daher kann man auch einfach etwas größzügiger mittels Nebenrechnung überschlagen:

Fordere einfach mal, dass es ein c gibt, für das ab einem bestimmten n0 gilt:



Dann kannst du das umstellen und erhältst:



Jetzt suche dir mal ein hübsches c aus, beispielsweise 1.

Mit n³ > 0 folgt daraus:



Ein passendes n0 wäre hier etwa 10, denn es ist:



Somit hast du ein schönes c und ein schönes n0, welches du jetzt einfach provokant in deiner Behauptung verwendest und schnell nachrechnest

Grüße
Roland

[fredpape]

Guten Abend,

Du bist ja sicherlich felsenfest davon überzeugt, dass dich der Aufgabensteller nicht übers Ohr hauen will.

Daher kann man auch einfach etwas größzügiger mittels Nebenrechnung überschlagen:

Fordere einfach mal, dass es ein c gibt, für das ab einem bestimmten n0 gilt:



Dann kannst du das umstellen und erhältst:



Jetzt suche dir mal ein hübsches c aus, beispielsweise 1.

Mit n³ > 0 folgt daraus:



Ein passendes n0 wäre hier etwa 10, denn es ist:



Somit hast du ein schönes c und ein schönes n0, welches du jetzt einfach provokant in deiner Behauptung verwendest und schnell nachrechnest

Grüße
Roland

Genau sowas habe ich gesucht.
Das ist meiner Meinung nach viel besser verständlich und allgemeiner anwendbar als der offizielle Lösungsvorschlag.

Danke dir!

Danke auch an Cauchy für die Idee mit dem Grenzwert.